論文の概要: Zero-SNR Analyticity of the Scalar MMSE Is Equivalent to Gaussianity
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.15048v1
- Date: Mon, 14 Sep 2026 05:07:20 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-16 07:15:06.082216
- Title: Zero-SNR Analyticity of the Scalar MMSE Is Equivalent to Gaussianity
- Title（参考訳）: Scalar MMSEのゼロSNR解析はガウス性と同値である
- Abstract要約: 最小平均二乗誤差 $operatornamemmse_X(s)$ がゼロ信号対雑音比で解析可能であることを証明する。
ゼロの$mgeq 2$は、Hermitemathの根に従って分割され、代わりにプレファクタ$n-m/2er_msqrt2n$に寄与する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7499255435598924
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Let $Y_s=\sqrt{s}X+Z$, where $Z$ is standard Gaussian and independent of the real random variable $X$. We prove that, under the square-exponential moment condition $\mathbb{E}e^{βX^2}<\infty$ for some $β>0$, the scalar minimum mean-square error $\operatorname{mmse}_X(s)$ is analytic at zero signal-to-noise ratio if and only if $X$ is Gaussian, with constant random variables included as degenerate Gaussians. The proof converts estimation in the Gaussian channel into a backward heat flow acting on the moment-generating function $M(z)=\mathbb{E}e^{zX}$. Under the stated tail condition, every non-Gaussian input forces $M$ to have a nonzero complex zero. We show that each zero cluster produces a finite singularity in its localized Borel transform at the action $ξ=z_0^2/2$. After removing the action scale, the Borel coefficients have a nonzero $n^{-1/2}$ prefactor for a simple zero. A zero of multiplicity $m\geq 2$ splits according to the roots of a Hermite polynomial and instead contributes a prefactor $n^{-m/2}e^{r_m\sqrt{2n}}$. A finite-disc localization and relative-cycle continuation argument then show that at least one such singularity survives in the full Borel transform. Thus, for every non-Gaussian input in the stated class, the formal zero-SNR expansion is Gevrey-1 but divergent. Rational-MMSE rigidity and the analogous analyticity criterion for mutual information follow as corollaries.
- Abstract（参考訳）: Y_s=\sqrt{s}X+Z$ とすると、$Z$ は標準ガウスであり、実確率変数 $X$ とは独立である。
平方指数モーメント条件 $\mathbb{E}e^{βX^2}<\infty$ for some $β>0$ のとき、スカラー最小平均二乗誤差 $\operatorname{mmse}_X(s)$ がゼロ信号-雑音比で解析されることは、X$ がガウス的であり、退化ガウス的である場合に限る。
この証明はガウスチャネルにおける推定をモーメント生成関数 $M(z)=\mathbb{E}e^{zX}$ に作用する逆熱流に変換する。
記述された尾条件の下では、非ガウス入力はすべて、0でない複素零点を持つために$M$を強制する。
それぞれの零クラスターは、その局所化されたボレル変換において、作用 $\=z_0^2/2$ において有限特異点を生成することを示す。
作用スケールを除去した後、ボレル係数は単純零点に対する非零$n^{-1/2}$プレファクタを持つ。
多重度 $m\geq 2$ の 0 はエルミート多項式の根に従って分裂し、代わりにプレファクタ $n^{-m/2}e^{r_m\sqrt{2n}}$ を寄与する。
有限円板の局所化と相対サイクルの連続論証は、少なくともそのような特異点がフルボレル変換の中で生き残ることを示す。
したがって、述べたクラスのすべての非ガウス的入力に対して、形式的なゼロSNR展開はゲブリー-1であるが発散する。
相互情報に対する合理的MMSE剛性と類似分析性規準は、連関として従う。
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