論文の概要: Symmetry without a manifold: intrinsic dimension on orbits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.17926v1
• Date: Tue, 15 Sep 2026 23:34:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-20 08:55:53.57449
• Title: Symmetry without a manifold: intrinsic dimension on orbits
• Title（参考訳）: 多様体を持たない対称性:軌道上の内在次元
• Abstract要約: 対称性をスケールで破ると$$が返り、スケールフリーな高原なしで$/$をトラックする。 L(h)=L_infty+Aexp(-c,h)$,$R2$ 0.982 - 0.995 に対して 0.857 - 0.906 の電力法則は、同じフロアを認めて同じプロトコルに適合する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The standard geometric derivation of neural scaling exponents takes the intrinsic dimension of a data manifold as its input. On modular addition in $\mathbb{Z}_p$ that derivation has no input. The exact algebraic solution is an orbit of $\mathbb{Z}_p$ acting by isometries. Transitivity alone makes the ratio statistic underlying the standard dimension estimator a point mass, so the estimator is undefined, and here the two nearest neighbour distances coincide exactly. Breaking the symmetry at scale $ε$ returns a number, but one that tracks $1/ε$ with no scale free plateau. We show that the failure is general, since on any finite orbit of a group acting by isometries the estimator reports the resolution at which the set is probed rather than a dimension. What replaces the power law is exponential in hidden width, $L(h)=L_\infty+A\exp(-c\,h^α)$, with $R^2$ between 0.982 and 0.995 against 0.857 to 0.906 for a power law admitting the same floor and fitted under the same protocol. Where the data supply is sufficient the rate belongs to the regulariser rather than to the group, since weight decay moves $c$ by a factor of 47 while group order moves it by 1.10, a residual below seed to seed resolution, for every fixed $α$ between 0.75 and 2. The critical width falls with group order rather than rising, against capacity counting that assigns a fixed number of neurons to each irreducible representation.
• Abstract（参考訳）: ニューラルスケーリング指数の標準的な幾何学的導出は、データ多様体の内在次元を入力として取り込む。 導出が入力を持たない$\mathbb{Z}_p$のモジュラー加法について。 正確な代数解は、等距離によって作用する$\mathbb{Z}_p$の軌道である。 推移性だけで標準次元推定器の下の比統計は点質量となるので、推定器は未定義であり、ここでは近接する2つの距離が正確に一致する。 対称性をスケール$ε$で割ると数を返すが、スケールフリープラトーなしで1/ε$をトラックする。 アイソメトリーによって作用する群の任意の有限軌道上で、推定子は集合が次元ではなく探索される分解能を報告する。 L(h) = L_\infty+A\exp(-c\,h^α)$, with $R^2$ between 0.982 to 0.995 against 0.857 to 0.906 for a power law admiting the same floor and fit under the same protocol。 データ供給が十分であれば、重量崩壊は47の因子で$c$を移動し、群秩序は0.75から2の固定の$α$ごとに種子分解能に1.10を移動させる。 臨界幅は、各既約表現に一定数のニューロンを割り当てるキャパシティカウントに対して、昇降ではなく群順に該当する。

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