論文の概要: Restricted Eigenvalues Beyond Gaussian Width: Threshold Occupancy under Heavy Tails
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03504v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 08:05:05 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-04 18:28:38.97862
- Title: Restricted Eigenvalues Beyond Gaussian Width: Threshold Occupancy under Heavy Tails
- Title（参考訳）: ガウス幅を超える固有値の制限-重機による支配
- Authors: Shi Fu, Huibo Xu, Qixin Zhang, Dacheng Tao,
- Abstract要約: 等方的準ガウス測度の場合、ベンチマークサンプルサイズは1+w(A)2$であり、$w(A)$は正規化降下円錐のガウス幅である。
ここで定式化された一般的な問題に対して、明示的で体系的な否定的な答えを与える:提案された法則は、その全次元自由で任意の集合形式で失敗する。
等方性の下では、アフィン次元倍の2乗半径で支配される分布のないフォールバックがこの族に鋭い。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 47.36630149538994
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Restricted eigenvalue (RE) bounds govern stable recovery by norm-regularized estimators. For isotropic sub-Gaussian measurements, the benchmark sample size is $1+w(A)^2$, where $w(A)$ is the Gaussian width of the normalized descent cone. The COLT 2015 open-problem note (Banerjee et al., 2015) asked whether the same law follows for heavy-tailed designs from a uniform small-ball condition alone. We give an explicit and systematic negative answer to the general question as formulated there: the proposed law fails in its full dimension-free, arbitrary-set form, and the missing obstruction is simultaneous threshold occupancy. A constant-width polyhedral descent cone with fixed small-ball constants has zero empirical RE on every sample path up to half the ambient dimension. More generally, every finite range space admits exact threshold encoding in an arbitrarily narrow spherical cap and a lift to a full polyhedral descent-cone section. For every fixed threshold VC dimension $d$, as $β\downarrow0$, the sharp worst-case sample complexity is $Θ(β^{-1}[d\log(1/β)+\log(1/δ)])$. The separation persists under exact isotropy and all finite moments: on the same constant-width cone, Gaussian measurements succeed with $O(1+\log(1/δ))$ samples, whereas an isotropic heavy-tailed design fails pathwise for $n\lesssim\sqrt{p/\log p}$. Gaussian smoothing yields an everywhere-positive $C^\infty$ density while retaining arbitrarily poor RE. Under isotropy, a distribution-free fallback governed by affine dimension times squared enclosing radius is sharp on this family.
- Abstract（参考訳）: 制限固有値(RE)境界はノルム正規化推定器によって安定回復を管理する。
等方的準ガウス測度の場合、ベンチマークサンプルサイズは1+w(A)^2$であり、$w(A)$は正規化降下円錐のガウス幅である。
COLT 2015のオープン・プロブレム・ノート(Banerjee et al , 2015)では、同じ法則が、均一な小球の条件だけで、重い尾を持つデザインに従うかどうかを問うている。
提案された法則は、その全次元自由で任意の集合形式で失敗し、欠落する障害は同時にしきい値占有である。
固定された小球定数を持つ定数幅の多面体降下円錐は、周囲の寸法の最大半分までのサンプルパスで実験的なREを持たない。
より一般に、任意の有限範囲空間は、任意に狭い球面キャップと全多面体降下円錐部分へのリフトの正確なしきい値の符号化を許す。
すべての固定しきい値 VC 次元 $d$, as $β\downarrow0$ に対して、急激な最悪のサンプルの複雑さは$(β^{-1}[d\log(1/β)+\log(1/δ)])$である。
同じ定数幅の円錐上で、ガウス測度は$O(1+\log(1/δ)$サンプルで成功するが、等方性重み付き設計は$n\lesssim\sqrt{p/\log p}$で経路的に失敗する。
ガウスの滑らか化は至る所で正の$C^\infty$密度を得るが、任意に貧弱なREを維持する。
等方性の下では、アフィン次元倍の2乗半径で支配される分布のないフォールバックがこの族に鋭い。
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