論文の概要: The Type-II Error of Test Supermartingales: e-Power versus the Chernoff-Stein Exponent

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.27765v1
• Date: Wed, 19 Aug 2026 16:05:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:55.962138
• Title: The Type-II Error of Test Supermartingales: e-Power versus the Chernoff-Stein Exponent
• Title（参考訳）: テストスーパーマーチンゲールのタイプII誤差:eパワー対チャーノフ・スタイン指数
• Abstract要約: Villeの不等式は、すべての重要度$in(0,1]$に対して、任意の時価の型Iエラーを保証する。 単純なnullと代替として、後者について2つのことを証明します。 1ステップ当たりのホエルダーの不等式に関する条件付き応用は、任意のフィルター空間上のすべてのテストスーパーマーチンゲールに対して、それを与える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.08983109077834
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In safe hypothesis testing with test supermartingales, Ville's inequality provides anytime-valid type-I error guarantees for every significance level $α\in(0,1]$, if one rejects the null hypothesis whenever the wealth process first exceeds $1/α$. Due to an inherent asymmetry, the type-II error behaves differently. We prove two things about the latter, for a simple null and alternative. First, the mean growth rate $\mathbb{E}_{P_1}[\log E]$, the e-power, that Kelly betting and growth-rate-optimal e-variables maximise, bounds nothing on its own. For every level $c>0$, every $α$ and horizon $t$ we construct e-variables of conditional e-power exactly $c$ whose probability of not rejecting by $t$ is arbitrarily close to one. It forces eventual rejection, but no finite-horizon guarantee follows. Second, the quantity that does control the type-II error is the Chernoff-Stein exponent of an e-variable, $Λ(E)=\sup_{s\ge0}\{-\log \mathbb{E}_{P_1}[E^{-s}]\}$, whose range is exactly determined: $\sup_E Λ(E)=\mathrm{KL}(P_0\|P_1)$, the classical Chernoff-Stein exponent, and so the ceiling of its own per-e-variable form. One conditional application of Hoelder's inequality per step gives it, for every test supermartingale on an arbitrary filtered space, with no independence or product structure; the i.i.d. case adds that it is matched, and attained by nothing. The e-power has its own ceiling, $\mathrm{KL}(P_1\|P_0)$, and that one is attained, $P_0$-a.s. uniquely, by the likelihood ratio $R$. The two optima are the same divergence in opposite arguments, at opposite ends of the flattened family $R^β/\mathbb{E}_{P_0}[R^β]$: the ceiling as $β\downarrow0$, $R$ at $β=1$. Which $β$ is best is settled by the horizon, exactly: $R$ is optimal at $t=\log(1/α)/\mathrm{KL}(P_1\|P_0)$ alone, beaten by sharpening $(β>1)$ below it and by flattening above.
• Abstract（参考訳）: テスト超行列を用いた安全な仮説テストにおいて、Villeの不等式は、全ての重要度$α\in(0,1]$に対して任意の時間価の型-I誤差を保証する。 本質的に非対称性のため、タイプIIエラーは異なる振る舞いをする。 単純なnullと代替として、後者について2つのことを証明します。 まず、平均成長率$\mathbb{E}_{P_1}[\log E]$, the e-power, that Kelly betting and growth-rate-Optimal e-variables maximise, nothing on its own。 すべてのレベル $c>0$ に対して、すべての$α$ と horizon $t$ に対して、条件付き e-パワーの e-変数を正確に$c$ で構築する。 最終的な拒絶を強制するが、有限水平保証は下記の通りである。 第二に、タイプIIエラーを制御する量とは、e-変数のチャーノフ=シュタイン指数である:$(E)=\sup_{s\ge0}\{-\log \mathbb{E}_{P_1}[E^{-s}]\}$で、その範囲は正確に決定される:$\sup_E >(E)=\mathrm{KL}(P_0\|P_1)$、古典的なチャーノフ=シュタイン指数、そしてそれ自身のe-変数形式の天井である。 1ステップ当たりのホエルダーの不等式の条件付き適用は、任意のフィルター空間上の全てのテストスーパーマーチンゲールに対して独立性や積構造を持たず、それを与える。 e-パワーは、自身の天井である$\mathrm{KL}(P_1\|P_0)$を持ち、その空位比$R$により、一意に$P_0$-a.sとなる。 2つのオプティマは反対の議論において同じ相違であり、平坦な族 $R^β/\mathbb{E}_{P_0}[R^β]$: 天井は$β\downarrow0$, $R$ at $β=1$ である。 R$ は $t=\log(1/α)/\mathrm{KL}(P_1\|P_0)$ で最適であり、その下に$(β>1)$ を削って上を平らにする。

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