論文の概要: Rank-One Signal Recovery in Sparse Wishart Noise

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.28163v1
• Date: Wed, 23 Sep 2026 14:11:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-25 00:05:18.058364
• Title: Rank-One Signal Recovery in Sparse Wishart Noise
• Title（参考訳）: スパースウィッシュアートノイズにおけるランクワン信号の回復
• Abstract要約: 信号ベクトル $mathbfx$ の高次元的回復について,ワイシュアート様ノイズの存在下で検討した。 本研究は, 高密度限界において, 回復しきい値と固有統計値が古典的BBP遷移によって予測された結果に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.0391237204597368
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the high-dimensional recovery of a signal vector $\mathbf{x}$ in the presence of sparse Wishart-like noise. We define an $N \times N$ matrix $A = J+(θ/N)\mathbf{xx}^{\top}$, where $\mathbf{xx}^{\top}$ is the rank-one deformation of the random noise matrix $J$. We consider a Wishart-like matrix $J={X}^{\top} X$, where $X$ is a sparse $M \times N$ random matrix with entries $X_{ij} = c_{ij}W_{ij}$, with $c_{ij}$ regulating the density of non-zero elements, and $W_{ij}$ the bond weights. Using the replica method, we compute analytically the top eigenpair statistics of $A$, and their dependence on the signal strength $θ$, the rectangularity ratio $α=\sqrt{M/N}$, and the average connectivity of the noise. The spectral observables are expressed in terms of a system of Recursive Distributional Equations, which are efficiently solved via a Population Dynamics algorithm. They allow us to compute the average largest eigenvalue $\langleλ_1\rangle_{A}$, the average top eigenvector component density, and the average overlap between the top eigenvector of $A$ and $\mathbf{x}$. We identify a critical threshold $θ_{\mathrm{crit}}$--depending on the average connectivity of the noise--that marks a BBP-like phase transition: below this value, $\langleλ_1\rangle_{A}$ is unaffected by the signal, and the overlap vanishes. Thus, the signal is not recoverable from the top eigenvector of $A$. For $θ>θ_{\mathrm{crit}}$, the signal-related outlier eigenvalue becomes $\langleλ_1\rangle_{A}$ and the overlap is nonzero, allowing for recovery of the signal. The results are in excellent agreement with numerical diagonalisation. We show that in the dense limit, the recovery threshold and eigen-statistics converge to the results predicted by the classical BBP transition for additive rank-one deformations of dense Wishart matrices.
• Abstract（参考訳）: 信号ベクトル $\mathbf{x}$ の疎Wishart 様ノイズの存在下での高次元回復について検討した。 ここで、$N \times N$ matrix $A = J+(θ/N)\mathbf{xx}^{\top}$, ここで$\mathbf{xx}^{\top}$はランダムノイズ行列$J$のランク1の変形である。 ウィッシュアート的な行列 $J={X}^{\top} X$ を考えると、$X$ は、成分 $X_{ij} = c_{ij}W_{ij}$ を持つスパース $M \times N$ランダム行列であり、$c_{ij}$ は非零要素の密度を規制し、$W_{ij}$ は結合重みを持つ。 レプリカ法を用いて,信号強度$θ$,長方性比$α=\sqrt{M/N}$,および雑音の平均接続性に依存する値の固有ペア統計量を解析的に算出した。 スペクトルオブザーバブルは再帰分布方程式の系で表現され、ポピュレーション・ダイナミクス・アルゴリズムによって効率的に解かれる。 これにより、平均最大固有値 $\langleλ_1\rangle_{A}$、平均最高固有ベクトル成分密度、および最高固有ベクトルの$A$と$\mathbf{x}$の間の平均オーバーラップを計算することができる。 この値以下では、$\langleλ_1\rangle_{A}$は信号の影響を受けず、重複は消滅する。 したがって、信号はトップ固有ベクトルの$A$から回復できない。 $θ>θ_{\mathrm{crit}}$の場合、信号関連のアウトリーな固有値は$\langleλ_1\rangle_{A}$となり、オーバーラップはゼロではなく、信号の回復を可能にする。 結果は数値対角化とよく一致している。 本研究では, 高密度Wishart行列の加法的階数1の変形に対して, 古典的BBP遷移によって予測される結果に, 回復しきい値と固有統計値が収束することを示した。

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