論文の概要: Dynamics to decision: A mathematical theory of Lyapunov spectra and decision boundaries in deep classifiers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.39190v1
• Date: Wed, 30 Sep 2026 07:43:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-01 18:57:27.40029
• Title: Dynamics to decision: A mathematical theory of Lyapunov spectra and decision boundaries in deep classifiers
• Title（参考訳）: 決定へのダイナミクス: 深い分類器におけるリアプノフスペクトルと決定境界の数学的理論
• Abstract要約: フィードフォワード分類器の深さによるデータサンプルの動的軌跡の軌跡について検討する。 確率レベルFTMLEが決定境界の明確な幾何学的シグネチャを持つことを示す。 分類器の隠れFTMLEを再構成するための幾何学的微調整を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9422653437378987
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A deep classifier is defined not only by the decision it produces, but also by the sequence of transformations through which that decision is formed. Treating this evolution as a dynamical system across layers provides a natural framework for asking how decision geometry emerges through depth and how far back we can trace a boundary's dynamical signature. We model a feed-forward classifier as a finite, nonautonomous discrete dynamical system, with layers playing the role of discrete time steps. We study the Finite-Time Maximum Lyapunov Exponent (FTMLE) of the data samples' dynamical trajectory through depths of the classifier. The FTMLE measures the rate of convergence/divergence of nearby trajectories. We move the observation endpoint backward from probabilities to logits and then to hidden representations. For Gaussian classes, we prove that probability-level FTMLE carries a clear geometric signature of the decision boundary, with its dominant direction aligned with the boundary normal. Moving one step backward to the logits, we prove this relationship is no longer universal but depends critically on how the classifier is trained, particularly on the choice of loss function. Moving further backward to the hidden representation, the connection becomes more conditional: boundary-related FTMLE can persist, but only under identifiable structural conditions. We propose geometry-aware fine-tuning for restructuring the classifier's hidden FTMLE, and propose conditions for guaranteed concentration of high hidden FTMLE near the decision boundary. Through our numerical results, we show the generality and validity of our theoretical results. Understanding the evolution of data samples as traveling through the layers of classifier provides a principled foundation for identifying where boundary-relevant sensitivity emerges and for developing layer-aware regularization strategies.
• Abstract（参考訳）: ディープ分類器は、生成する決定だけでなく、その決定が生成される変換の順序によっても定義される。 この進化を層間の動的システムとして扱うことは、決定幾何学が深みを通してどのように現れるのか、境界の動的シグネチャをどこまで遡るかを問う自然な枠組みを提供する。 我々は、フィードフォワード分類器を有限で不規則な離散力学系としてモデル化し、層が離散時間ステップの役割を担っている。 我々は,データサンプルの動的軌跡の有限時間最大リアプノフ指数(FTMLE)を分類器の深さを通して検討した。 FTMLEは、近くの軌道の収束/分岐率を測定する。 観測エンドポイントを確率からロジットに逆向きに移動し、次に隠れた表現に移動します。 ガウス類に対しては、確率レベル FTMLE が決定境界の明確な幾何学的シグネチャを持ち、その支配方向が境界正規値に一致していることを証明する。 この関係はもはや普遍的ではないが、分類器の訓練方法、特に損失関数の選択に批判的に依存する。 隠れた表現にさらに後ろへ進むと、接続はより条件付きになり、境界関連FTMLEは持続できるが、識別可能な構造条件下でのみ持続する。 分類器の隠蔽FTMLEを再構成するための幾何学的微調整を提案し、決定境界付近で高い隠蔽FTMLEの濃度を保証する条件を提案する。 数値的な結果から,理論的な結果の一般化と妥当性を示す。 分類器の層を通り抜けるデータサンプルの進化を理解することは、境界関連感度がどこに現れるかを特定し、レイヤー対応の正規化戦略を開発するための基本的な基盤を提供する。

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