論文の概要: Deep Learning Approximation of Diffeomorphisms via Linear-Control Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.12393v1
• Date: Sun, 24 Oct 2021 08:57:46 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-10-26 18:27:36.480432
• Title: Deep Learning Approximation of Diffeomorphisms via Linear-Control Systems
• Title（参考訳）: 線形制御系による拡散同相の深層学習近似
• Authors: Alessandro Scagliotti
• Abstract要約: 我々は、制御に線形に依存する$dot x = sum_i=1lF_i(x)u_i$という形の制御系を考える。 対応するフローを用いて、コンパクトな点のアンサンブル上の微分同相写像の作用を近似する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 91.3755431537592
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper we propose a Deep Learning architecture to approximate diffeomorphisms isotopic to the identity. We consider a control system of the form $\dot x = \sum_{i=1}^lF_i(x)u_i$, with linear dependence in the controls, and we use the corresponding flow to approximate the action of a diffeomorphism on a compact ensemble of points. Despite the simplicity of the control system, it has been recently shown that a Universal Approximation Property holds. The problem of minimizing the sum of the training error and of a regularizing term induces a gradient flow in the space of admissible controls. A possible training procedure for the discrete-time neural network consists in projecting the gradient flow onto a finite-dimensional subspace of the admissible controls. An alternative approach relies on an iterative method based on Pontryagin Maximum Principle for the numerical resolution of Optimal Control problems. Here the maximization of the Hamiltonian can be carried out with an extremely low computational effort, owing to the linear dependence of the system in the control variables.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,微分同型を同一視する深層学習アーキテクチャを提案する。 我々は、制御に線形依存を持つ $\dot x = \sum_{i=1}^lF_i(x)u_i$ という形の制御系を考え、対応するフローを用いて点のコンパクトアンサンブル上の微分同相の作用を近似する。 制御システムの単純さにもかかわらず、Universal Approximation Propertyが持つことが最近示されている。 トレーニングエラーの和と正規化項の和を最小化する問題は、許容可能な制御空間における勾配流を誘導する。 離散時間ニューラルネットワークのトレーニング手順は、グラデーションフローを許容可能な制御の有限次元部分空間に投影することである。 別のアプローチでは、最適制御問題の数値解法として、ポントリャーギンの最大原理に基づく反復法を用いる。 ここでハミルトニアンの最大化は、制御変数における系の線形依存のため、非常に低い計算量で実行することができる。

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