Fugu-MT 論文翻訳(概要): Exact spectral gaps for random Pauli rotations

論文の概要: Exact spectral gaps for random Pauli rotations

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.40164v1
Date: Wed, 30 Sep 2026 16:58:33 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-10-01 18:57:28.11702
Title: Exact spectral gaps for random Pauli rotations
Title（参考訳）: ランダムなパウリ回転に対する特別なスペクトルギャップ
Abstract要約: 私たちは$mathsfSU(d)$のギャップが$(d-8)/(8(d2-1)$ for $nge4$であることを証明する。また、予想値である$d(d-3)/(8(d2-1)$が、ちょうど$mathsfPU(d)$ for $nge3$のギャップであることを示す。
参考スコア（独自算出の注目度）: 4.216375409791007
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: We resolve the spectral-gap problem posed by Baer and Haah for random Pauli rotations. In this walk, a nonidentity $n$-qubit Pauli operator $P$ and an angle $θ$ modulo $2π$ are chosen independently and uniformly, and the step is $e^{\mathrm{i}θP}$. Writing $d=2^n$, we prove that the gap on $\mathsf{SU}(d)$ is $(d-8)/(8(d-1))$ for $n\ge4$. This disproves their conjectured formula on the full special unitary group. We also prove that the conjectured value, $d(d-3)/(8(d^2-1))$, is exactly the gap on $\mathsf{PU}(d)$ for $n\ge3$. The special-unitary gap is attained by an explicit vector in $\bigwedge^8\mathbb C^d$, constructed from affine three-dimensional subspaces of $\mathbb F_2^n$. Its nontrivial central action explains why balanced tensor representations do not detect this smaller gap. On the projective group, the gap is attained in $U\mapsto U^{\otimes4}\otimes\bar U^{\otimes4}$. The matching lower bounds hold uniformly over all finite-dimensional unitary representations. They combine the spectrum of the graph of anticommuting Pauli operators, a minimum-weight bound for binary polynomials, and a local inequality on a single-qubit Clifford-fixed subspace. The proof is analytic and requires no computational verification.
Abstract（参考訳）: ランダムなパウリ回転に対して、Baer と Haah が提案するスペクトルギャップ問題を解く。このウォークでは、非同一性$n$-量子パウリ作用素$P$と角度$θ$ modulo $2π$が独立かつ均一に選択され、ステップは$e^{\mathrm{i}θP}$となる。 d=2^n$と書くと、$\mathsf{SU}(d)$のギャップが$(d-8)/(8(d-1))$ for $n\ge4$であることを証明する。これは、予想公式を全特殊ユニタリ群上で否定する。また、予想値である$d(d-3)/(8(d^2-1))$が、ちょうど$\mathsf{PU}(d)$ for $n\ge3$のギャップであることを示す。特殊単位ギャップは、$\bigwedge^8\mathbb C^d$ の明示的なベクトルによって達成され、$\mathbb F_2^n$ のアフィン3次元部分空間から構成される。その非自明な中心作用は、なぜバランスの取れたテンソル表現がこの小さなギャップを検知しないのかを説明する。射影群において、このギャップは$U\mapsto U^{\otimes4}\otimes\bar U^{\otimes4}$で達成される。一致する下界は、すべての有限次元ユニタリ表現に対して一様に保持される。これらは、反可換なパウリ作用素のグラフのスペクトル、二乗多項式の最小重み付き境界、および1量子ビットクリフォード固定部分空間上の局所不等式を組み合わせたものである。この証明は解析的であり、計算的な検証は不要である。

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