論文の概要: Beyond Unimodal Bases: Pullback Geometry for Multimodal Data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.00708v1
• Date: Wed, 30 Sep 2026 20:55:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-03 01:19:23.765409
• Title: Beyond Unimodal Bases: Pullback Geometry for Multimodal Data
• Title（参考訳）: ユニモーダルベースを超えて:マルチモーダルデータのためのプルバック幾何学
• Abstract要約: 本稿では,多様体の混合上でのデータに対するプルバック幾何を提案する。 提案した幾何と高次領域を通る経路の間の公式な関係を導出する。 実験では、輸送歪みの低減、競合経路のサポート、近接参照軌道の回復、リアリズムの改善が示されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 20.649125365496605
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Data-driven Riemannian geometry provides nonlinear interpolation and geometric representations of high-dimensional data. For these operations to be statistically meaningful, paths between observations should preferentially traverse high-likelihood regions. Existing scalable pullback constructions typically use a unimodal Gaussian latent distribution, assuming that the data reside close to a single manifold. For multimodal data, mapping separated modes or local structures into one Gaussian region can require substantial transport deformation and compromise the resulting geometry. We introduce a pullback geometry for data supported on mixtures of manifolds. Using a latent Gaussian mixture, we define its Riemannian metric as the matrix square of the responsibility-weighted expected component precision. The metric is smooth and positive definite and recovers the existing Gaussian construction in the single-component limit. For structured overlapping mixtures, we establish conditions under which the log-density is concave along geodesics, providing a formal connection between the proposed geometry and paths through high-likelihood regions, and derive the corresponding local curvature relations. We instantiate this geometry in a normalizing flow with adaptive mixture learning, allowing the number of active components to emerge from the data and supporting component-wise reconstruction and local effective-dimension estimation. Experiments on synthetic geometric data, a controlled multi-view image setting with a known reference trajectory, and MNIST show reduced transport distortion, competitive path support, close reference-trajectory recovery, and improved interpolation realism. These results extend scalable pullback geometry beyond datasets that reside close to a single manifold while retaining tractable and interpretable local structure.
• Abstract（参考訳）: データ駆動リーマン幾何学は、高次元データの非線形補間と幾何学的表現を提供する。 これらの操作が統計的に有意であるためには、観測間の経路が優先的に高線状領域を横切るべきである。 既存のスケーラブルなプルバック構成は典型的には、データが単一の多様体に近くに存在すると仮定して、一様ガウスの潜在分布を用いる。 マルチモーダルデータの場合、分離モードや局所構造を1つのガウス領域にマッピングするには、かなりの輸送変形が必要であり、結果として得られる幾何学を損なう可能性がある。 多様体の混合で支えられたデータに対するプルバック幾何を導入する。 潜在ガウス混合を用いて、リーマン計量を責任重み付き期待成分精度の行列正方形として定義する。 計量は滑らかで正定値であり、既存のガウス構成を単成分極限で回復する。 重なり合う構造を持つ混合の場合、対数密度が測地線に沿って凹む条件を確立し、提案した幾何と高次領域を通る経路の間の公式な接続を提供し、対応する局所曲率関係を導出する。 適応的な混合学習を伴う正規化フローでこの幾何学をインスタンス化し、データからアクティブなコンポーネントの数が出現し、コンポーネント単位の再構成と局所的な有効次元推定をサポートする。 合成幾何データ、既知の基準軌跡を持つ多視点画像設定、MNISTの実験では、輸送歪みの低減、競合経路のサポート、近接基準軌跡回復、補間リアリズムの改善が示されている。 これらの結果は、1つの多様体に近接するデータセット以外の拡張性のあるプルバック幾何を拡張し、トラクタブルで解釈可能な局所構造を保持する。

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