論文の概要: A Unifying and Canonical Description of Measure-Preserving Diffusions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.02845v1
• Date: Thu, 6 May 2021 17:36:55 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-05-07 14:53:26.478338
• Title: A Unifying and Canonical Description of Measure-Preserving Diffusions
• Title（参考訳）: 測度保存拡散の統一と正準記述
• Authors: Alessandro Barp, So Takao, Michael Betancourt, Alexis Arnaudon, Mark Girolami
• Abstract要約: ユークリッド空間における測度保存拡散の完全なレシピは、最近、いくつかのMCMCアルゴリズムを単一のフレームワークに統合した。 我々は、この構成を任意の多様体に改善し一般化する幾何学理論を開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 60.59592461429012
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A complete recipe of measure-preserving diffusions in Euclidean space was recently derived unifying several MCMC algorithms into a single framework. In this paper, we develop a geometric theory that improves and generalises this construction to any manifold. We thereby demonstrate that the completeness result is a direct consequence of the topology of the underlying manifold and the geometry induced by the target measure $P$; there is no need to introduce other structures such as a Riemannian metric, local coordinates, or a reference measure. Instead, our framework relies on the intrinsic geometry of $P$ and in particular its canonical derivative, the deRham rotationnel, which allows us to parametrise the Fokker--Planck currents of measure-preserving diffusions using potentials. The geometric formalism can easily incorporate constraints and symmetries, and deliver new important insights, for example, a new complete recipe of Langevin-like diffusions that are suited to the construction of samplers. We also analyse the reversibility and dissipative properties of the diffusions, the associated deterministic flow on the space of measures, and the geometry of Langevin processes. Our article connects ideas from various literature and frames the theory of measure-preserving diffusions in its appropriate mathematical context.
• Abstract（参考訳）: ユークリッド空間における測度保存拡散の完全なレシピは、最近、いくつかのMCMCアルゴリズムを単一のフレームワークに統合した。 本稿では、この構成を任意の多様体に改良し一般化する幾何学的理論を考案する。 これにより、完備性の結果は、基礎となる多様体の位相と対象測度 $p$ によって引き起こされる幾何学の直接的な結果であることが証明される; リーマン計量、局所座標、参照測度といった他の構造を導入する必要はない。 代わりに、我々のフレームワークは$P$の内在幾何学、特にその標準微分であるdeRham回転子に依存しており、ポテンシャルを用いて測度保存拡散のFokker-Planck電流をパラメトリズすることができる。 幾何形式論は簡単に制約や対称性を組み込むことができ、例えば、サンプル作成に適したランゲヴィン様の拡散の新しい完全なレシピのような、新しい重要な洞察を与えることができる。 また,拡散の可逆性と散逸性,測度空間上の関連する決定論的流れ,ランジュバン過程の幾何学についても解析した。 本論文は,様々な文献からのアイデアを結びつけ,その適切な数学的文脈における測度保存拡散の理論を枠組み化する。

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