論文の概要: Least-time Gradient Flow

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.01426v1
• Date: Thu, 01 Oct 2026 10:26:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-03 01:19:24.054062
• Title: Least-time Gradient Flow
• Title（参考訳）: 極時間勾配流れ
• Abstract要約: 最小化器は存在し、一意であり、線形スケールされたシクロ化物であることを示す。 証明は古典的な経路に従っており、直接法によって存在すること、厳密な凸性による一意性、最小化子の原点から離れた正の性、オイラー・ラグランジュ方程式の明示的な積分である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 51.5322065663625
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Prescribing the speed of gradient flow on the risk itself, by the dynamics $\dot w=-u(E(w))\nabla E(w)/\abs{\nabla E(w)}^{2}$, makes the risk $e(t)=E(w(t))$ obey $\dot e=-u(e)$ exactly, whatever the landscape~$E$; the time needed to reach zero risk from $e_0$ is $\int_0^{e_0}\dd e/u(e)$. Minimizing this time alone is ill posed, and we study the regularized problem $\inf\{\int_0^{e_0}(\tfrac\lambda2\abs{u'}^{2}+1/u)\,\dd e:\ u\in H^{1}(0,e_0),\ u\ge0,\ u(0)=0\}$, $λ>0$. We prove that the minimizer exists, is unique, and is a linearly scaled cycloid, and we show that the optimal rate behaves like $u^{*}(e)\sim(9/(2λ))^{1/3}e^{2/3}$ near zero risk: the exponent $2/3$ is the one found in \cite{betti2026holder} by a power-law ansatz, and it lies in the Hölder window $(\tfrac12,1)$ where the arrival is in finite time with vanishing weight speed. The proof follows the classical route: existence by the direct method, uniqueness by strict convexity, positivity of the minimizer away from the origin, and the explicit integration of the Euler-Lagrange equation.
• Abstract（参考訳）: e(w)/\abs{\nabla E(w)^{2}$, make the risk $e(t)=E(w(t))$ follow $\dot e=-u(e)$ exactly, any the landscape~E$; the zero risk from $e_0$ is $\int_0^{e_0}\dd e/u(e)$。 この時間だけを最小化することは不適切であり、正規化問題 $\inf\{\int_0^{e_0}(\tfrac\lambda2\abs{u'}^{2}+1/u)\,\dd e:\ u\in H^{1}(0,e_0),\ u\ge0,\ u(0)=0\}$, $λ>0$ を研究する。 最小化器は、一意であり、線形スケールのサイクロイドであり、最適速度が$u^{*}(e)\sim(9/(2λ))^{1/3}e^{2/3}$ ほぼゼロリスクであることを示す:指数 2/3$ は、パワーローアンサッツによって \cite{betti2026holder} に見られるもので、Hölder ウィンドウ $(\tfrac12,1)$ にある。 証明は古典的な経路に従っており、直接法によって存在すること、厳密な凸性による一意性、最小化子の原点から離れた正の性、オイラー・ラグランジュ方程式の明示的な積分である。

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