論文の概要: Quantum algorithms for orthogonal polynomial transforms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.03581v1
• Date: Fri, 02 Oct 2026 16:53:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-06 00:14:30.49353
• Title: Quantum algorithms for orthogonal polynomial transforms
• Title（参考訳）: 直交多項式変換の量子アルゴリズム
• Abstract要約: Askey スキームの族に対する離散かつ連続的な新しい QOPT を提供する。 我々の効率的なQOPTアルゴリズムは時間$O(textpolylog(N(+++1)/)right)$を必要とします。 我々は、3項分解を用いて対応するチャープを高速にフォワードすることで、ラゲール変換のための新しいフレームワークを全ての順序に対して$>0$で開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6624384368855523
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A quantum orthogonal polynomial transform (QOPT) is an algorithmic primitive that maps a superposition of standard basis states $\sum_k α_{k} \ket{k}$ coherently to a basis of normalized univariate polynomials orthogonal with respect to a probability measure $μ(x)$. We provide new discrete and continuous QOPTs for polynomial families in the Askey scheme extending the results for the quantum Hermite transform (Jain et al., STOC'26). Our efficient QOPT algorithms require time $O(\text{polylog}(N, 1/ε))$, where $N$ is the grid size and $ε$ is the error, for the discrete Charlier, Meixner and Krawtchouk transforms and for the integer-order Laguerre transform in the continuous setting. The efficient QOPTs are obtained by uncovering the links between Askey scheme polynomials and Gaussian quantum optical gates and developing a compilation framework for $SU(2)$ and $SU(1,1)$ optical gates on Cartesian grids extending the framework developed by Iyer et al. (arXiv:2602.15180). Further, we reduce the continuous Jacobi transform to the discrete Hahn transform and provide an $O\!\left(N\operatorname{polylog}((N+α+β+1)/ε)\right)$-time Hahn transform, a quadratic speedup over the naive implementation. This is based on a more efficient compilation of the Clebsch--Gordan transform for coupling $\mathrm{SU}(2)$ representations with spins $(j_{1}, j_{2})$. Finally, we develop a new framework for Laguerre transforms for all orders $ν>0$ by fast-forwarding the corresponding radial oscillator using a 3-term chirp decomposition and an efficient algorithm for the Quantum Hankel Transform on a logarithmic grid.
• Abstract（参考訳）: 量子直交多項式変換 (quantum orthogonal polynomial transformation, QOPT) は、標準基底の重ね合わせを$\sum_k α_{k} \ket{k}$コヒーレントに、確率測度$μ(x)$に対して直交する正規化された単変数多項式の基底にマッピングするアルゴリズムプリミティブである。 量子エルミート変換(Jain et al , STOC'26)の結果を拡張するアスキースキースキームにおける多項式族に対する新しい離散連続QOPTを提供する。 我々の効率的なQOPTアルゴリズムは、時間$O(\text{polylog}(N, 1/ε))$であり、ここでは、$N$はグリッドサイズ、$ε$は離散Charrir、Meixner、Krawtchouk変換、整数階ラゲール変換は連続的な設定である。 効率的なQOPTは、Askeyスキーム多項式とガウス量子光学ゲートのリンクを明らかにし、Iyerらが開発したフレームワークを拡張したカルテシアングリッド上のSU(2)$とSU(1,1)$のコンパイルフレームワークを開発する(arXiv:2602.15180)。 さらに、連続ヤコビ変換を離散ハーン変換に還元し、$O\! \left(N\operatorname{polylog}((N+α+β+1)/ε)\right)$-time Hahn transform は、ナイーブな実装に対する二次的なスピードアップである。 これは Clebsch--Gordan 変換のより効率的なコンパイルに基づいて、$\mathrm{SU}(2)$表現とスピンの$(j_{1}, j_{2})$を結合する。 最後に、3項チャープ分解と対数格子上の量子ハンケル変換の効率的なアルゴリズムを用いて、対応する放射発振器を高速にフォワードすることで、ラゲール変換のための新しいフレームワークである$ν>0$を開発する。

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