論文の概要: Towards Scalable Persistence-Based Topological Optimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.10996v1
- Date: Sat, 09 May 2026 15:47:20 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-13 21:48:56.286421
- Title: Towards Scalable Persistence-Based Topological Optimization
- Title（参考訳）: スケーラブルな永続化に基づくトポロジ最適化に向けて
- Abstract要約: 永続性に基づく位相最適化は、点クラウド $X の部分集合 mathbbRd$ を $L(X) = ell(mathrmDgm(X))$ という形の目的を最小化することによって変形する。
実際、最適化は2つの結合した問題によって制限される: 永続ホモロジーは典型的にはサブサンプル上で計算され、結果として生じる位相勾配は非常にスパースであり、非ゼロ更新を受けるアンカーポイントはわずかである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.16669776030478
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Persistence-based topological optimization deforms a point cloud $X \subset \mathbb{R}^d$ by minimizing objectives of the form $L(X) = \ell(\mathrm{Dgm}(X))$, where $\mathrm{Dgm}(X)$ is a persistence diagram. In practice, optimization is limited by two coupled issues: persistent homology is typically computed on subsamples, and the resulting topological gradients are highly sparse, with only a few anchor points receiving nonzero updates. Motivated by diffeomorphic interpolation, which extends sparse gradients to smooth ambient vector fields via Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) interpolation, we propose a more scalable pipeline that improves both subsampling and gradient extension. We introduce subsampling via random slicing, a lightweight scheme that promotes iteration-wise geometric coverage and mitigates density bias. We further replace the costly kernel solve with a fast Nadaraya-Watson (NW) Gaussian convolution, producing a globally defined smooth update field at a fraction of the computational cost, while being more suited for topological optimization tasks. We provide theoretical guarantees for NW smoothing, including anchor approximation bounds and global Lipschitz estimates. Experiments in $2$D and $3$D show that combining random slicing with NW smoothing yields consistent speedups and improved objective values over other baselines on common persistence losses.
- Abstract（参考訳）: 永続化に基づく位相最適化は、点クラウド $X \subset \mathbb{R}^d$ を $L(X) = \ell(\mathrm{Dgm}(X))$ という形の目的を最小化することによって変形する。
実際、最適化は2つの結合した問題によって制限される: 永続ホモロジーは典型的にはサブサンプル上で計算され、結果として生じる位相勾配は非常にスパースであり、非ゼロ更新を受けるアンカーポイントはわずかである。
拡散型補間(diffomorphic interpolation)により動機付けされ、スパース勾配をケルネルヒルベルト空間(RKHS)補間により滑らかな周囲ベクトル場に拡張し、よりスケーラブルなパイプラインを提案し、サブサンプリングと勾配拡張の両方を改善する。
我々は,反復的幾何学的カバレッジを促進し,密度バイアスを軽減する軽量なスキームであるランダムスライシングによるサブサンプリングを導入する。
さらに、コストのかかるカーネル問題を高速なNadaraya-Watson (NW) Gaussian Convolution(英語版)に置き換え、計算コストのごく一部でグローバルに定義されたスムーズな更新フィールドを生成するとともに、位相最適化タスクにもより適している。
我々は、アンカー近似境界や大域リプシッツ推定を含む、NW平滑化の理論的な保証を提供する。
2ドルと3ドルの実験では、ランダムスライシングとNW平滑化を組み合わせることで、一貫したスピードアップが得られ、一般的な持続損失に基づく他のベースラインよりも客観的な値が改善された。
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