論文の概要: Quantitative Universality of Approximate Message Passing for Rank-One Quadratic Sensing

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.05327v1
• Date: Sun, 04 Oct 2026 15:51:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-10 21:35:27.291014
• Title: Quantitative Universality of Approximate Message Passing for Rank-One Quadratic Sensing
• Title（参考訳）: ランク1擬似センシングのための近似メッセージパッシングの定量的普遍性
• Abstract要約: Approximate Message Passing (AMP)アルゴリズムは、計算効率が良く、正確な特徴を同時に認めるので魅力的である。 本研究は、AMPの定量的普遍性を確立し、中心となる階数1のセンシング行列を$Z_i=(x_ix_itop-I_d)/sqrt d$とする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.419537909925083
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Approximate Message Passing (AMP) algorithms are attractive as they are computationally efficient and simultaneously admit a precise characterization in terms of the low-dimensional "state-evolution" recursion. In this work, we establish quantitative universality for AMP with centered rank-one sensing matrices $Z_i=(x_ix_i^\top-I_d)/\sqrt d$, where $x_i$ are independent standard Gaussian vectors. These matrices arise in quadratic regression and learning quadratic neural networks. Their normalized vectorizations have isotropic covariance in dimension $p=d(d+1)/2$, but strongly dependent coordinates. For linear observations with Gaussian noise and prescribed smooth, bounded spectral denoisers, we compare rank-one sensing with a covariance-matched isotropic Gaussian ensemble. At a fixed iteration horizon, with $n\leq Cp$ and uniform bounds on the normalized signal energy, initialization, coefficients, and first four denoiser derivatives, normalized signal overlaps, cross-time overlaps, and smooth linear spectral statistics differ by $O(d^{-1/2})$ in every fixed $L^m$. This yields universality of the normalized mean-squared error, fixed spectral moments, and empirical spectral distributions. Whenever the Gaussian observables admit a joint state-evolution limit, the same predictions hold under rank-one sensing. The proof uses columnwise Lindeberg replacement, leave-one-out analysis, smooth spectral expansions, and high-moment concentration. For prescribed smooth spectral denoisers, the result establishes the AMP universality conjectured by Maillard et al. (arXiv:2408.03733).
• Abstract（参考訳）: Approximate Message Passing (AMP)アルゴリズムは、計算効率が良く、低次元の「状態進化」再帰(state-evolution)による正確な特徴を同時に認めるため、魅力的である。 本研究では、中心となる階数 1 のセンシング行列 $Z_i=(x_ix_i^\top-I_d)/\sqrt d$, ここでは、x_i$ は独立標準ガウスベクトルである。 これらの行列は二次回帰と2次ニューラルネットワークの学習に現れる。 正規化されたベクトル化は次元$p=d(d+1)/2$の等方共変を持つが、強い依存座標を持つ。 ガウス雑音と所定の滑らかで有界なスペクトルデノイザを用いた線形観測では、ランクワンセンシングと共分散整合した等方性ガウスアンサンブルを比較する。 固定された繰り返しの地平線では、$n\leq Cp$と、正規化された信号エネルギー、初期化、係数、および最初の4つのデノイザー微分、正規化された信号重なり、クロスタイム重なり、滑らかな線形スペクトル統計量は、固定された$L^m$ごとに$O(d^{-1/2})$で異なる。 これは正規化平均二乗誤差、固定スペクトルモーメント、経験スペクトル分布の普遍性をもたらす。 ガウス観測者が連立状態進化限界を許すとき、同じ予測はランク1の知覚の下で成り立つ。 この証明は、縦方向リンデベルク置換、残留一点分析、滑らかなスペクトル展開、高モメント濃度を用いている。 所定の滑らかなスペクトル記述に対して、結果は Maillard et al (arXiv:2408.03733) によって予想されるAMP普遍性を確立する。

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