論文の概要: Rapid Fredholm stabilization of the Kuramoto--Sivashinsky equation with unrestricted, spatially-varying anti-diffusion

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.08764v1
• Date: Tue, 06 Oct 2026 17:50:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 02:58:30.157777
• Title: Rapid Fredholm stabilization of the Kuramoto--Sivashinsky equation with unrestricted, spatially-varying anti-diffusion
• Title（参考訳）: 制限のない空間変化反拡散を伴う倉本-シヴァシンスキー方程式の高速フレドホルム安定化
• Abstract要約: 我々は,空間的に変化する反拡散係数を持つ倉本-シヴァシンスキー方程式の高速安定化のための最初のフィードバック設計を開発した。 植物が不安定な二重固有値を持つ場合,2つの入力が制御可能性に十分であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.093618731228799
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We develop the first feedback design for rapid stabilization of the Kuramoto--Sivashinsky equation with a spatially varying anti-diffusion coefficient. For constant coefficients, the single-input Fredholm design of Coron and Lü (2015) excludes a discrete set of values at which repeated unstable eigenvalues cause a loss of controllability. We overcome this obstruction by introducing a second boundary input and assigning the two inputs distinct roles. The key idea, inspired by Heymann's Lemma, is to use the boundary value $u(0,t)$ entirely for a pre-feedback that renders the modified plant controllable through the curvature input $u_{xx}(0,t)$. The latter input then stabilizes the plant through a Fredholm backstepping transformation. We show that two inputs suffice for controllability and are necessary when the plant has an unstable double eigenvalue. However, the Fredholm kernel still must be approximated for implementation. Hence, to enable kernel and gain approximation, we prove continuity of the coefficient-to-gain design map on compact admissible design classes. Unlike Volterra-based continuity proofs using successive approximations, our proof uses the modal representation to control the spectral data, the inverse coefficient system, and the tails of the kernel and gain series. This yields a single neural operator approximation of the gain to any prescribed $L^2$ accuracy across the class. Finally, we establish rapid local stabilization of the nonlinear closed-loop system under both the exact gains and sufficiently accurate approximations. We conclude with numerical results that illustrate prescribed decay rates and the computational cost of the approximations. In particular, we train a Fourier neural operator that achieves typical relative gain errors of approximately $0.1\%$ and stabilizes all held-out cases tested, including a plant with an unstable double eigenvalue.
• Abstract（参考訳）: 我々は,空間的に変化する反拡散係数を持つ倉本-シヴァシンスキー方程式の高速安定化のための最初のフィードバック設計を開発した。 定数係数に対して、Coron and Lü (2015) の単一入力フレドホルム設計(英語版)は、不安定な固有値の繰り返しが制御性を失う離散的な値集合を除外する。 2つ目の境界入力を導入し、2つの入力に異なる役割を割り当てることで、この障害を克服する。 HeymannのLemmaにインスパイアされた鍵となるアイデアは、事前フィードバックのために境界値 $u(0,t)$ を全て使用することであり、これは曲率入力 $u_{xx}(0,t)$ を通じて修正された植物を制御可能である。 後者の入力はフレッドホルムのバックステッピング変換によって植物を安定化させる。 植物が不安定な二重固有値を持つ場合,2つの入力が制御可能性に十分であることを示す。 しかし、Fredholmカーネルは実装のために近似されなければならない。 したがって、カーネルを有効化して近似を得るため、コンパクトな許容設計クラス上での係数対ゲイン設計マップの連続性を証明できる。 連続近似を用いたボルテラ型連続性証明とは異なり、この証明はスペクトルデータ、逆係数系、およびカーネルの尾と利得級数を制御するためにモーダル表現を用いる。 これにより、利得の1つのニューラル演算子近似がクラス全体で所定の$L^2$の精度で得られる。 最後に, 非線形閉ループ系の局所的な高速安定化を, 正確なゲインと十分正確な近似の下で確立する。 我々は,所定の減衰率と近似の計算コストを示す数値的な結果で結論付けた。 特に、Fourierニューラル演算子を訓練し、約0.1 %$の典型的な相対利得誤差を達成し、不安定な二重固有値を持つ植物を含むテストされたすべての保留ケースを安定化させる。

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