論文の概要: Minimax Rates and Improved Spectral Convergence for Multi-Manifold Clustering

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.15892v1
• Date: Sun, 11 Oct 2026 20:14:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-19 15:25:52.303809
• Title: Minimax Rates and Improved Spectral Convergence for Multi-Manifold Clustering
• Title（参考訳）: マルチマニフォールドクラスタリングにおけるミニマックスレートとスペクトル収束の改善
• Abstract要約: テンソル化密度重み付きラプラス-ベルトラミ作用素の固有ペア推定について検討する。 単純で非自明な固有ペアに対して、固有値と固有関数を近似するミニマックス率$n-s/(d+2s)$を確立する。 さらに、多様体非依存グラフラプラシアン推定器を解析し、その固有ペアがテンソル化されたラプラス-ベルトラミ作用素のものと収束することを証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.112745247067366
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study eigenpair estimation for the tensorized, density-weighted Laplace--Beltrami operator from $n$ independent data points sampled from a multi-manifold mixture distribution where manifolds may intersect. Let $d$ denote the largest intrinsic dimension of the manifold components and $s\geq2$ the smoothness of the sampling densities. For simple, nontrivial eigenpairs, we establish the minimax rate $n^{-s/(d+2s)}$ for approximating the eigenvalue and eigenfunction of the tensorized Laplace--Beltrami operator, and show that a continuum plug-in estimator based on kernel density estimation attains the same rate when the supporting manifolds are known. We further analyze a manifold-agnostic graph Laplacian estimator and prove that its eigenpairs converge to those of the tensorized Laplace--Beltrami operator at rate $n^{-1/(2.5d-1)}$, up to logarithmic factors, improving upon previously known spectral convergence rates for multi-manifold learning. Numerical experiments on synthetic multi-manifold data corroborate the rates guaranteed by our theorems. These results characterize the information-theoretic difficulty of multi-manifold spectral estimation and quantify the additional cost of learning without oracle component information.
• Abstract（参考訳）: 多様体が交差する多次元混合分布からサンプリングした$n$独立なデータ点からテンソル化・密度重み付きLaplace-Beltrami演算子の固有ペア推定について検討した。 d$ は多様体成分の最大の内在次元を表し、$s\geq2$ はサンプリング密度の滑らかさを表す。 単純で非自明な固有ペアに対して、テンソル化されたラプラス-ベルトラミ作用素の固有値と固有関数を近似するミニマックス率 $n^{-s/(d+2s)}$ を確立し、支持多様体が知られているとき、カーネル密度推定に基づく連続的なプラグイン推定器が同じ速度となることを示す。 さらに、多様体非依存グラフ Laplacian 推定器を解析し、その固有ペアがテンソル化された Laplace--Beltrami 作用素の値に$n^{-1/(2.5d-1)}$ で収束することを証明する。 合成多次元データの数値実験は、我々の定理によって保証される速度を相関させる。 これらの結果は,多次元スペクトル推定における情報理論上の難しさを特徴付けるとともに,オラクル成分情報のない追加学習コストを定量化する。

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