論文の概要: Minimax Rates for the Estimation of Eigenpairs of Weighted Laplace-Beltrami Operators on Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.00171v1
• Date: Fri, 30 May 2025 19:19:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-05 01:42:09.158976
• Title: Minimax Rates for the Estimation of Eigenpairs of Weighted Laplace-Beltrami Operators on Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の重み付きラプラス・ベルトラミ作用素の固有ペア推定のためのミニマックス速度
• Authors: Nicolás García Trillos, Chenghui Li, Raghavendra Venkatraman,
• Abstract要約: 楕円微分作用素の固有ペアを、多様体$M$で支えられる分布$rho$のサンプルから推定する問題について検討する。 グラフラプラシアンの固有ペアは、近似の誤差で正規性多様体推定器を誘導し、対数補正まで、我々の下界と一致する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.639886528552829
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the problem of estimating eigenpairs of elliptic differential operators from samples of a distribution $\rho$ supported on a manifold $M$. The operators discussed in the paper are relevant in unsupervised learning and in particular are obtained by taking suitable scaling limits of widely used graph Laplacians over data clouds. We study the minimax risk for this eigenpair estimation problem and explore the rates of approximation that can be achieved by commonly used graph Laplacians built from random data. More concretely, assuming that $\rho$ belongs to a certain family of distributions with controlled second derivatives, and assuming that the $d$-dimensional manifold $M$ where $\rho$ is supported has bounded geometry, we prove that the statistical minimax rate for approximating eigenvalues and eigenvectors in the $H^1(M)$-sense is $n^{-2/(d+4)}$, a rate that matches the minimax rate for a closely related density estimation problem. We then revisit the literature studying Laplacians over proximity graphs in the large data limit and prove that, under slightly stronger regularity assumptions on the data generating model, eigenpairs of graph Laplacians induce manifold agnostic estimators with an error of approximation that, up to logarithmic corrections, matches our lower bounds. Our analysis allows us to expand the existing literature on graph-based learning in at least two significant ways: 1) we consider stronger norms to measure the error of approximation than the ones that had been analyzed in the past; 2) our rates of convergence are uniform over a family of smooth distributions and do not just apply to densities with special symmetries, and, as a consequence of our lower bounds, are essentially sharp when the connectivity of the graph is sufficiently high.
• Abstract（参考訳）: 楕円微分作用素の固有ペアを、多様体$M$で支えられる分布$\rho$のサンプルから推定する問題について検討する。 本稿で論じる演算子は教師なし学習に関係しており、特にデータクラウド上で広く使用されているグラフラプラシアンのスケーリング限界を適切に捉えて得られる。 この固有ペア推定問題のミニマックスリスクについて検討し、ランダムなデータから構築されたグラフラプラシアンによって達成される近似の速度について検討する。 より具体的には、$\rho$ が制御された二次微分を持つ分布の族に属すると仮定し、$d$-次元多様体 $M$ where $\rho$ is bounded geometry と仮定すると、$H^1(M)$-sense の固有値と固有ベクトルを近似する統計ミニマックスレートが $n^{-2/(d+4)}$ であることを証明する。 次に、大きなデータ極限における近接グラフについてラプラシアンを研究する文献を再考し、データ生成モデル上のわずかに強い正則性仮定の下で、グラフラプラシアンの固有ペアは、対数補正までの近似誤差で多様体非依存推定子を誘導することを示した。 私たちの分析によって、グラフベースの学習に関する既存の文献を少なくとも2つの重要な方法で拡張することができます。 1) 過去に分析されたものよりも近似の誤差を測定するための強い規範を考える。 2) 収束速度は滑らかな分布の族に一様であり, 特別な対称性を持つ密度にのみ適用されない。

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