論文の概要: Learning Operators for Symmetry Discovery: From Lie Groups to Local Symmetry Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.16884v1
• Date: Mon, 12 Oct 2026 14:44:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-18 04:20:54.29053
• Title: Learning Operators for Symmetry Discovery: From Lie Groups to Local Symmetry Geometry
• Title（参考訳）: 対称性発見のための演算子学習:リー群から局所対称性幾何学へ
• Abstract要約: 関数から対称性構造への写像が有限観測から関数群全体にわたって学べるかどうかを考察する。 大域的リー群対称性に対して、表現論的人口特性を確立する。 この視点を局所対称性に拡張し、そこでは対称方向は固定リー代数よりも滑らかに変化する接分布を形成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.356401832291157
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Continuous symmetry discovery is typically formulated as a separate estimation problem for each function or dataset. We instead investigate whether the map from a function to its symmetry structure can be learned across a family of functions from finite observations. Using the infinitesimal differential characterization of continuous symmetries, we formulate this map as an inverse symmetry operator, analogous to an inverse PDE problem. For global Lie-group symmetries, we establish a representation-theoretic population characterization: the symmetry Lie algebra is the nullspace of a positive-semidefinite operator constructed from representation coefficients and the infinitesimal group action. We also show that the inverse symmetry operator is equivariant under coordinate changes through the adjoint action. This characterization separates the geometric symmetry map from finite-sample estimation, motivating a hybrid approach that amortizes statistically difficult components while retaining analytic structure. On SO(5) benchmarks, amortized equivariant estimation of harmonic coefficients improves symmetry recovery from sparse observations, whereas ordinary least squares suffices for SL(2,R). We extend this viewpoint to local symmetries, where symmetry directions form smoothly varying tangent distributions rather than a fixed Lie algebra. Under the Lie-bracket consistency condition, Frobenius' theorem guarantees local integral submanifolds along which observables remain unchanged. We recover this geometry using a hybrid estimator that learns observation weights while preserving analytic differential and geometric recovery. Across global, non-compact, local, and physically motivated synthetic benchmarks, our results support learning the statistically difficult finite-sample components while preserving the known geometric structure of symmetry recovery.
• Abstract（参考訳）: 連続対称性の発見は、典型的には各関数やデータセットの別個の推定問題として定式化される。 代わりに、関数から対称性構造への写像が有限観測から関数群全体にわたって学べるかどうかを考察する。 連続対称性の無限小微分特性を用いて、この写像を逆対称作用素として定式化し、逆PDE問題に類似する。 対称性リー代数は、表現係数と無限小群作用から構成される正半有限作用素の零空間である。 また、逆対称作用素が随伴作用による座標変化の下で同変であることも示している。 この特徴付けは、幾何学対称性写像を有限サンプル推定から分離し、解析構造を維持しながら統計的に難しい成分を記憶するハイブリッドアプローチを動機付けている。 SO(5)ベンチマークでは、調和係数の償却同変推定はスパース観測から対称性の回復を改善するが、SL(2,R) では通常の最小二乗が十分である。 この視点を局所対称性に拡張し、そこでは対称方向は固定リー代数よりも滑らかに変化する接分布を形成する。 リー・ブラケット整合条件の下では、フロベニウスの定理は、観測可能な部分多様体が変化しないような局所積分部分多様体を保証する。 解析的微分と幾何回復を保ちながら、観測重量を学習するハイブリッド推定器を用いて、この幾何を復元する。 本研究は, グローバル, 非コンパクト, 局所, 物理的に動機付けられた総合的なベンチマークにおいて, 対称性回復の既知の幾何学的構造を保ちながら, 統計的に困難な有限サンプル成分の学習を支援する。

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