論文の概要: When Is Muon Optimal? Radial Fragility and Minimax Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.21549v1
• Date: Thu, 15 Oct 2026 09:13:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-16 19:13:16.299416
• Title: When Is Muon Optimal? Radial Fragility and Minimax Geometry
• Title（参考訳）: ミューオンはいつ最適か? 放射強度とミニマックス幾何
• Abstract要約: 本稿ではRandom-Radius isotropic Curvature Model (RR-ICM)とPolar-Factor Admissibility Setを紹介する。 RR-ICMは、勾配の正極係数上の幾何条件として、正確なスケールドポーラ最適性を符号化する。 我々は、すべての非零大域最小化器が勾配の極線上にあることを証明し、そのスケールは1次元凸問題によって決定される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2691047660244335
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Muon replaces a matrix gradient by an approximate polar factor and has shown strong empirical performance in neural-network training. The Isotropic Curvature Model (ICM) provides a curvature-based explanation for this update by asking when gradient orthogonalization minimizes a one-step local-loss surrogate. We investigate the stability of this explanation when the fixed input radius of the ICM is replaced by a general radial law. We introduce the Random-Radius Isotropic Curvature Model (RR-ICM) and the Polar-Factor Admissibility Set, which encodes exact scaled-polar optimality as a geometric condition on the positive polar factor of the gradient. We derive an exact characterization of this set for arbitrary radial laws and show that all nonscalar admissible responses arise from radial atoms aligned with curvature kinks. Consequently, every atomless radial law exhibits zero-capacity rigidity: exact scaled-polar optimality is possible only when the gradient is already a scaled column isometry. To connect the curvature-based framework with the established spectral geometry of Muon, we introduce the Minimax RR-ICM by replacing directional averaging with worst-case optimization over probability laws on the sphere. We prove that every nonzero global minimizer lies on the polar ray of the gradient, while its scale is determined by a one-dimensional convex problem. The corresponding admissibility geometry is a positive-semidefinite trace slab, in sharp contrast to the spherical-zonoid geometry of the RR-ICM. Together, these results expose the radial fragility of average-curvature explanations and provide a new minimax variational characterization of Muon's polar direction.
• Abstract（参考訳）: ミューオンは行列勾配を近似極因子で置き換え、ニューラルネットトレーニングにおいて強い経験的性能を示した。 等方的曲率モデル(ICM)は、勾配直交化が局所的な一段階のサロゲートを最小化するかどうかを問うことで、この更新に対する曲率に基づく説明を提供する。 我々は、ICMの固定入力半径を一般放射法に置き換えた際のこの説明の安定性について検討する。 本稿では,Random-Radius isotropic Curvature Model (RR-ICM)とPolar-Factor Admissibility Setを導入する。 任意の放射法則に対して、この集合の正確な性質を導出し、全ての非スカラー許容応答が、曲率キンクに整列した放射原子から生じることを示す。 その結果、原子の無いラジアル法則はゼロ容量剛性を示す: 厳密なスケールド極性最適性は、勾配が既にスケールドカラム等方性である場合にのみ可能である。 そこで本研究では, 方向平均化を球面上の確率法則に対する最悪の最適化に置き換え, ミニマックスRR-ICMを導入する。 我々は、すべての非零大域最小化器が勾配の極線上にあることを証明し、そのスケールは1次元凸問題によって決定される。 対応する許容度幾何学は正の半無限のトレーススラブであり、RR-ICMの球面-粒子幾何学とは対照的である。 これらの結果は、平均曲率説明の半径不安定性を明らかにし、ムオンの極方向の新たなミニマックス変動特性を提供する。

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