論文の概要: Computing Fréchet Means on Unknown Submanifolds of Riemannian Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.22592v2
- Date: Mon, 19 Oct 2026 00:36:02 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-21 06:32:45.3258
- Title: Computing Fréchet Means on Unknown Submanifolds of Riemannian Manifolds
- Title（参考訳）: リーマン多様体の未知部分多様体上のフレシェ平均計算
- Abstract要約: 未知のコンパクトな$d$-次元リーマン多様体上のデータに対する固有フレシェ平均の計算について検討する。
グラフに基づく反復アルゴリズムを提案し,その多様体を適応的にサンプリングし,測地線を近似する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.728639503114606
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Empirical averages are fundamental statistical primitives. On nonlinear spaces, their generalization, the Fréchet mean, generally lacks a closed-form solution, and its computation requires solving an optimization problem. We study the computation of intrinsic Fréchet means for data supported on an unknown compact $d$-dimensional Riemannian manifold $M_{1}$ embedded in an ambient metric space $(X,d_{\operatorname{obs}})$. Such settings arise when observations are better represented in non-Euclidean spaces, like probability distributions in Wasserstein space. We assume access only to a local sampler on $M_{1}$ and the observation metric $d_{\operatorname{obs}}$, without knowledge of its intrinsic geometry. We propose a graph-based iterative algorithm that adaptively samples the manifold and approximates geodesic interpolation. Under mild assumptions, we establish an $O(1/T)$ expected objective gap guarantee using at most $\widetilde{O}(T^{4d+3})$ sampled points. As a byproduct of our analysis we extend the metric equivalence guarantees of ISOMAP from Euclidean to Riemannian ambient spaces, which may be of independent interest. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of our method for computing intrinsic averages on unknown data manifolds.
- Abstract（参考訳）: 経験的平均は基本的な統計的原始である。
非線形空間において、その一般化はフレシェ平均であり、一般に閉形式解がなく、その計算は最適化問題を解く必要がある。
我々は、未知のコンパクト$d$-次元リーマン多様体$M_{1}$を周囲の計量空間$(X,d_{\operatorname{obs}})$に埋め込んだデータに対する固有フレシェ平均の計算について検討する。
そのような設定は、ワッサーシュタイン空間の確率分布のような非ユークリッド空間で観測がより良く表現されるときに生じる。
M_{1}$と観測基準である$d_{\operatorname{obs}}$のローカルサンプルにのみアクセスすると仮定する。
本稿では,この多様体を適応的にサンプリングし,測地的補間を近似するグラフベースの反復アルゴリズムを提案する。
軽度の仮定の下では、少なくとも$\widetilde{O}(T^{4d+3})$サンプル点を用いて、$O(1/T)$期待の客観的ギャップを保証する。
解析の副産物として、ユークリッド空間からリーマン空間へのISOMAPの計量同値性保証を拡張し、これは独立な関心を持つかもしれない。
数値解析実験により,未知のデータ多様体上での固有平均計算の有効性が示された。
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