Fugu-MT 論文翻訳(概要): Gaussian Approximation of Besov Functions for Logistic Classification on Manifolds

論文の概要: Gaussian Approximation of Besov Functions for Logistic Classification on Manifolds

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.27022v1
Date: Mon, 19 Oct 2026 14:26:27 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-10-21 21:58:47.432847
Title: Gaussian Approximation of Besov Functions for Logistic Classification on Manifolds
Title（参考訳）: 多様体の論理的分類のためのベソフ関数のガウス近似
Abstract要約: 連結コンパクトな滑らかな埋め込み多様体上での近似と正規化ロジスティック分類について検討する。 2つの大きな課題は、有界ベイズ函数を仮定せずに高速不等式を導出することである。飽和を伴わない固有次元と対象の正則性の両方を利用する近似式を構築した。
参考スコア（独自算出の注目度）: 4.74753940673406
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: We study Gaussian kernel approximation and regularized logistic classification on a connected compact smooth embedded manifold $X\subset\mathbb R^d$ without boundary and of intrinsic dimension $\varrho$. Two main challenges are to derive a fast oracle inequality without assuming a bounded Bayes function and to construct Gaussian approximants that exploit both the intrinsic dimension and the target's regularity without saturation. We address the first challenge through a Bernstein-type inequality whose constant depends linearly on the supremum norm of the predictor. Combined with localized complexity estimates, this yields an oracle inequality over separable normed function spaces. To address the second challenge, we establish a uniform Sobolev operator expansion and cancel its lower-order bias terms using a signed combination of Gaussian kernel integral operators at different bandwidths. Real interpolation then gives an $L_2(X)$ approximation error of order $γ^α$ for functions in $B^α_{2,\infty}(X)$, where $γ$ is the bandwidth. By constructing the approximants directly on the manifold without ambient extension, we obtain a squared Gaussian RKHS norm bound of order $γ^{-\varrho}$. This construction thus overcomes second-order saturation while retaining norm control governed by the intrinsic dimension. When the marginal distribution has a density $g\in L_p(X)$, these results yield the logistic excess-risk rate $\bigl((\log n)^{\varrho+1}/n\bigr)^{4α(1-1/p)/(4α(1-1/p)+3\varrho)}$. We further show that clipping predictions yields the faster clipped logistic excess-risk rate $\bigl((\log n)^{\varrho+2}/n\bigr)^{2α(1-1/p)/(2α(1-1/p)+\varrho)}$. For bounded densities, its polynomial exponent matches that of the minimax optimal rate for squared-loss regression, and its corresponding excess misclassification risk also matches the minimax optimal rate.
Abstract（参考訳）: 連結コンパクトな滑らかな埋め込み多様体 $X\subset\mathbb R^d$ の境界と内在次元 $\varrho$ のガウス核近似と正規化ロジスティック分類について検討する。 2つの主な課題は、有界ベイズ函数を仮定せずに高速なオラクルの不等式を導出し、飽和のない内在次元と対象の正則性の両方を利用するガウス近似体を構築することである。我々は、予測子の上限ノルムに線形に依存するベルンシュタイン型不等式による最初の挑戦に対処する。局所化複雑性推定と組み合わせると、これは分離可能ノルム函数空間上のオラクルの不等式をもたらす。 2つ目の課題に対処するため、同一のソボレフ作用素拡張を確立し、異なる帯域幅のガウス核積分作用素の符号付き組合せを用いて下位のバイアス項をキャンセルする。すると、実補間は$L_2(X)$の次数$γ^α$の近似誤差を$B^α_{2,\infty}(X)$の関数に対して与え、$γ$は帯域幅である。周囲の拡大を伴わない多様体に直接近似体を構築することにより、次数$γ^{-\varrho}$の正方形ガウス RKHSノルム境界を得る。この構成は、本質的な次元によって支配されるノルム制御を維持しながら、2階飽和を克服する。辺分布が密度$g\in L_p(X)$を持つとき、これらの結果はロジスティック過剰リスク率$\bigl((\log n)^{\varrho+1}/n\bigr)^{4α(1-1/p)/(4α(1-1/p)+3\varrho)}$となる。さらに、クリッピング予測により、より高速なクリッピングロジスティック過剰リスク率 $\bigl((\log n)^{\varrho+2}/n\bigr)^{2α(1-1/p)/(2α(1-1/p)+\varrho)}$ が得られることを示す。有界密度の場合、多項式指数は平方損失回帰のミニマックス最適率と一致し、それに対応する過剰な誤分類リスクもミニマックス最適率と一致する。

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