論文の概要: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.27193v1
- Date: Mon, 19 Oct 2026 19:29:18 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-21 21:58:47.480142
- Title: Low Residuals, Wrong Value: Learning the Viscosity Solution of Hamilton-Jacobi-Isaacs Equations with PINNs
- Title（参考訳）: 低残量, 誤り値: PINNを用いたハミルトン・ヤコビ・イザック方程式の粘度解の学習
- Abstract要約: 固定水平追従回避ゲームにおいて,残差最小化がそのような解を選択するか否かを検討する。
小さなサンプル残基は、学習されたハミルトン・ヤコビ解をそれ自体は検証しない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5011207148177196
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Physics-informed neural networks (PINNs) and other residual-trained solvers judge a candidate solution by the size of its sampled PDE residual. For first-order Hamilton-Jacobi equations this is not sufficient: the same equation and boundary data admit Lipschitz almost-everywhere solutions that differ from the viscosity solution by $O(1)$ while violating the equation only on sets of measure zero. We study whether residual minimization selects such solutions in a fixed-horizon pursuit-evasion game whose Hamilton-Jacobi-Isaacs value function is known in closed form on the circle $S^1$ and on the flat tori $\mathbb{T}^{2}$ and $\mathbb{T}^{4}$. We train four neural parameterizations with ten seeds on each geometry, 120 runs in total. A standard network with periodic Fourier features converges to folded almost-everywhere solutions in all 30 runs: small residuals and the expected capture-layer gradient, yet values that are wrong over most of the domain. A network with periodicity imposed through the loss recovers the viscosity solution in one and two dimensions but becomes unreliable in four. Two parameterizations that receive the geodesic distance do substantially better: a single network fed the wrapped displacement and its distance recovers the viscosity solution in all 30 runs, while a minimum over periodic image charts succeeds in 27 of 30 and introduces a wrong-image failure mode. Finally, for the convex Hamiltonian considered here, we use the semiconcavity of the viscosity solution to build a mesh-free finite-difference test that needs only forward network evaluations; it detects the folded solutions and the harmful min-of-charts failures without access to the exact value function. A small sampled residual thus does not by itself validate a learned Hamilton-Jacobi solution; the parameterization and independent structural diagnostics can be essential for selecting the viscosity solution.
- Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)や他の残留学習型解法は、サンプリングされたPDE残基のサイズによって候補解を判定する。
一階のハミルトン・ヤコビ方程式の場合、これは十分ではない:同じ方程式と境界データは、測度 0 の集合にのみ方程式を違反しながら、粘度解と異なるほとんどすべての解を$O(1)$で受け入れる。
ハミルトン・ヤコビ・イサクス値関数が円 S^1$ と平坦なトーリ $\mathbb{T}^{2}$ と $\mathbb{T}^{4}$ の閉形式で知られている固定水平追従回避ゲームにおいて、残差最小化がそのような解を選択するかどうかを検討する。
我々は、各幾何学で10個の種を持つ4つのニューラルパラメタライゼーションを訓練し、合計120回の走行を行う。
周期的なフーリエ特徴を持つ標準的なネットワークは、ほとんどすべての領域で折り畳まれた解に収束する。
損失によって周期性が課されるネットワークは、粘性溶液を1次元と2次元で回収するが、4次元では信頼性が低下する。
ジオデシック距離を受ける2つのパラメータ化は、ラップされた変位を1つのネットワークが供給し、その距離が全30ランで粘性溶液を回収し、最小周期画像チャートは30の27で成功し、誤像故障モードを導入する。
最後に、ここで考慮された凸ハミルトニアンは、粘性解の半凹部を用いて、前方ネットワーク評価のみを必要とするメッシュフリー有限差分テストを構築する。
したがって、小さなサンプル残基は、学習されたハミルトン・ヤコビ溶液をそれ自体は検証しない:パラメータ化と独立な構造診断は粘性溶液を選択するために必須である。
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