論文の概要: Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.27500v1
• Date: Tue, 20 Oct 2026 02:18:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-21 21:58:47.585793
• Title: Soliton Profiles in 1D: Enhanced Neural-Network Solvers and Constrained Deep Ritz Methods
• Title（参考訳）: 1Dにおけるソリトンプロファイル:強化ニューラル・ネットワーク・ソルバーと制約付きディープ・リッツ法
• Abstract要約: 一次元基底状態プロファイルのための拡張ニューラルネットワークソルバを開発し,比較する。 本稿では,2つの古典的変分法を実装したニューラル・ネットワークの定式化について述べる。 ディープ・リッツの定式化は全体としては最も良く、特にワインシュタイン変種は最高のエラーと実行時のバランスを与える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop and compare enhanced neural-network solvers for one-dimensional ground-state profiles, which are solutions of $$ Q^{\prime\prime}=bQ-γQ^{p},\quad Q>0,\quad p>1, \quad b, γ>0, $$ the stationary profile equation for the nonlinear Schrödinger, generalized Korteweg-de Vries, and nonlinear Klein-Gordon equations. Its explicit sech-type solutions serve as exact reference for error computation and benchmark hyperparameter selection. We improve on the standard Adam-trained physics-informed neural network (PINN) baseline by introducing higher-order optimization via Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt and L-BFGS refinements, as well as Fourier-feature PINNs, and constrained Deep Ritz (DR) formulations. In DR approaches we introduce two new neural-network formulations, which implement two classical variational characterizations: a Nehari-constrained Deep Ritz method, in which the height is learned by projecting onto the Nehari/Pokhozhaev manifold, and a Weinstein Deep Ritz method, in which a normalized profile minimizes the Weinstein quotient. The Deep Ritz formulations perform best overall, in particular, the Weinstein variant gives the best error-runtime balance. The neural-network based solvers remain less accurate and efficient than classical Petviashvili iteration in 1D, however, the current study provides a proof of concept: the mesh-free formulation, non-reliance on exact profiles or the related features make them promising in higher dimensions and for more complicated nonlinearities and dispersive operators.
• Abstract（参考訳）: 我々は, 非線形シュレーディンガー, 一般化されたコルテヴェーグ・ド・ヴリーズ, 非線形クライン=ゴルドン方程式に対する定常プロファイル方程式の解である, Q^{\prime\prime}=bQ-γQ^{p},\quad Q>0,\quad p>1, \quad b, γ>0, $$$の1次元基底状態に対する拡張ニューラルネットワーク解法を開発し, 比較する。 その明示的なsech型ソリューションは、エラー計算とベンチマークハイパーパラメータ選択の正確な参照として機能する。 我々は,Guss-Newton/Levenberg-MarquardtおよびL-BFGSによる高次最適化,Fourier-Feature PINN,および制約付きDeep Ritz(DR)の定式化によって,標準的なAdam-trained Physics-informed Neural Network(PINN)ベースラインを改善した。 DRアプローチでは、Nehari-Constrained Deep Ritz法、Nehari/Pokhozhaev多様体への射影により高さを学習するNehari-Constrained Deep Ritz法と、Weinstein Deep Ritz法という、2つの古典的変分的特徴付けを実装するWeinstein Deep Ritz法を導入する。 ディープ・リッツの定式化は全体としては最も良く、特にワインシュタイン変種は最高のエラーと実行時のバランスを与える。 ニューラルネットワークに基づく解法は、1Dの古典的なペトビアシヴィリの反復よりも正確で効率が低いが、現在の研究では、メッシュのない定式化や、正確なプロファイルや関連する特徴への非依存は、より高次元で、より複雑な非線形性や分散演算子に期待できる、という概念の証明を提供している。

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