論文の概要: Random test functions, $H^{-1}$ norm equivalence, and stochastic variational physics-informed neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.03542v1
• Date: Tue, 05 May 2026 09:14:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-06 19:35:43.864573
• Title: Random test functions, $H^{-1}$ norm equivalence, and stochastic variational physics-informed neural networks
• Title（参考訳）: ランダムテスト関数、$H^{-1}$ノルム同値、確率変動物理学インフォームドニューラルネットワーク
• Authors: Diego Marcondes,
• Abstract要約: 2階線形楕円偏微分方程式の弱解の双ノルム的特徴付けは、数学的には自然であるが、計算的に難解である。 任意の関数の$H-1$ノルムは、その分布が領域のみに依存するランダムなテスト関数に対する期待二乗評価と等価であることを示す。 この同値性は、古典的な弱解と一致する弱解の概念を導入し、変分物理学インフォームドニューラルネットワーク(SV-PINN)を動機付けている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The dual norm characterisation of weak solutions of second-order linear elliptic partial differential equations is mathematically natural but computationally intractable: evaluating the $H^{-1}$ norm of a residual requires a supremum over an infinite-dimensional function space. We prove that the $H^{-1}$ norm of any functional is equivalent to its expected squared evaluation against a random test function whose distribution depends only on the domain. Crucially, realisations of this random test function have negative Sobolev regularity for $d \geq 2$, yet this roughness is not an obstacle: averaging over the distribution exactly recovers the correct weak topology, independently of the differential operator. This equivalence introduces the notion of stochastically weak solutions, which coincide with classical weak solutions, and motivates stochastic variational physics-informed neural networks (SV-PINNs): neural networks trained by minimising an empirical approximation of the stochastic norm of the PDE residual. Although instantiated here with neural networks as trial spaces, the underlying principle is independent of the approximation architecture and suggests a broader paradigm for numerical methods based on stochastic rather than deterministic test spaces. The framework extends naturally to higher-order elliptic, parabolic and hyperbolic equations and to abstract operator equations on Hilbert spaces. As a proof of concept, we present numerical experiments on eight challenging second-order linear elliptic problems spanning high-frequency and multi-scale solutions, indefinite operators, variable coefficients, and non-standard domains, in which SV-PINNs consistently and significantly outperform standard PINNs, recovering solutions to within one percent relative error in hundreds of L-BFGS steps.
• Abstract（参考訳）: 2階線形楕円偏微分方程式の弱解の双対ノルムの特徴付けは数学的には自然であるが、計算的に難解である:残差の$H^{-1}$ノルムを評価するには無限次元函数空間上の上限が必要である。 任意の関数の$H^{-1}$ノルムは、その分布が領域のみに依存するランダムなテスト関数に対する期待二乗評価と等価であることを示す。 重要なことに、このランダムなテスト関数の実現は、$d \geq 2$に対して負のソボレフ正則性を持つが、この粗さは障害ではない。 この同値性は、古典的弱解と一致する確率論的弱解の概念を導入し、確率的変動物理学情報ニューラルネットワーク(SV-PINN)を動機付けている。 ここではニューラルネットワークを試行空間としてインスタンス化しているが、基礎となる原理は近似アーキテクチャとは独立であり、決定論的テスト空間ではなく確率的手法に基づくより広範なパラダイムが提案されている。 このフレームワークは自然に高階楕円型、放物型、双曲型方程式やヒルベルト空間上の抽象作用素方程式にまで拡張する。 概念実証として,高頻度および多スケールの解,不定演算子,可変係数,非標準領域にまたがる8つの2次線形楕円問題の数値実験を行い,SV-PINNは標準PINNより一貫して大幅に優れ,数百のL-BFGSステップにおいて1%以内の相対誤差に解を回復することを示した。

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