論文の概要: Neural PDE Solvers with Physics Constraints: A Comparative Study of PINNs, DRM, and WANs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.09693v1
• Date: Thu, 09 Oct 2025 13:41:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-14 18:06:29.563569
• Title: Neural PDE Solvers with Physics Constraints: A Comparative Study of PINNs, DRM, and WANs
• Title（参考訳）: 物理制約を考慮したニューラルPDE解法:PINN,DRM,WANの比較検討
• Authors: Jiakang Chen,
• Abstract要約: 部分方程式 (PDE) は、科学や工学にまたがるモデルを支えるが、解析解は非定型であり、古典的なメッシュベースの解法は高次元でコストがかかる。 この論文は、3つのメッシュフリーニューラルネットワークPDEソルバ、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)、ディープリッツ法(DRM)、弱い敵ネットワーク(WAN)、ポアソン問題(最大5D)と1D/2Dにおける時間非依存シュラーオーディンガー方程式の統一的な比較を提示する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.131316248570352
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Partial differential equations (PDEs) underpin models across science and engineering, yet analytical solutions are atypical and classical mesh-based solvers can be costly in high dimensions. This dissertation presents a unified comparison of three mesh-free neural PDE solvers, physics-informed neural networks (PINNs), the deep Ritz method (DRM), and weak adversarial networks (WANs), on Poisson problems (up to 5D) and the time-independent Schr\"odinger equation in 1D/2D (infinite well and harmonic oscillator), and extends the study to a laser-driven case of Schr\"odinger's equation via the Kramers-Henneberger (KH) transformation. Under a common protocol, all methods achieve low $L_2$ errors ($10^{-6}$-$10^{-9}$) when paired with forced boundary conditions (FBCs), forced nodes (FNs), and orthogonality regularization (OG). Across tasks, PINNs are the most reliable for accuracy and recovery of excited spectra; DRM offers the best accuracy-runtime trade-off on stationary problems; WAN is more sensitive but competitive when weak-form constraints and FN/OG are used effectively. Sensitivity analyses show that FBC removes boundary-loss tuning, network width matters more than depth for single-network solvers, and most gains occur within 5000-10,000 epochs. The same toolkit solves the KH case, indicating transfer beyond canonical benchmarks. We provide practical guidelines for method selection and outline the following extensions: time-dependent formulations for DRM and WAN, adaptive residual-driven sampling, parallel multi-state training, and neural domain decomposition. These results support physics-guided neural solvers as credible, scalable tools for solving complex PDEs.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式 (PDE) は、科学や工学にまたがるモデルを支えるが、解析解は非定型であり、古典的なメッシュベースの解法は高次元でコストがかかる。 この論文は、3つのメッシュフリーニューラルPDEソルバ、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)、ディープリッツ法(DRM)、弱い逆数ネットワーク(WAN)、ポアソン問題(最大5D)と1D/2D(無限の井戸と調和振動子)における時間非依存のシュル・オーディンガー方程式の統一的な比較を示し、クラマース・ヘネベルガー変換(KH)を通してシュル・オーディンガー方程式のレーザー駆動の場合に拡張する。 共通プロトコルでは、強制境界条件(FBCs)、強制ノード(FNs)、直交正則化(OG)と組み合わせると、すべてのメソッドが低いL_2$エラー(10^{-6}$-$10^{-9}$)を達成する。 タスク全体では、PINNは励起スペクトルの精度と回復に最も信頼性があり、DRMは定常的な問題に対して最高の精度とランタイムのトレードオフを提供する。 感度分析により、FBCは境界損失チューニングを除去し、ネットワーク幅はシングルネットワークソルバの深さ以上であり、ほとんどの利得は5000-10,000のエポック以内に発生することが示された。 同じツールキットがKHのケースを解き、標準ベンチマークを超えて遷移することを示す。 本稿では,DRM と WAN の時間依存型定式化,適応型残差駆動サンプリング,並列多状態学習,神経領域分解など,メソッド選択のための実践的ガイドラインについて述べる。 これらの結果は、複雑なPDEを解くための信頼性が高くスケーラブルなツールとして、物理誘導型ニューラルネットワークをサポートする。

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