論文の概要: Hidden parabolic subgroups of $\mathrm{GL}_n$ over finite chain rings

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.28368v2
• Date: Wed, 21 Oct 2026 02:19:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-23 00:40:06.094773
• Title: Hidden parabolic subgroups of $\mathrm{GL}_n$ over finite chain rings
• Title（参考訳）: 有限鎖環上の$\mathrm{GL}_n$の隠れ放物的部分群
• Abstract要約: 有効に提示された任意の有限鎖環 $R$ 上で、$mathrmGL_n(R)$ の隠された放物的部分群を見つけるための有界誤り量子時間アルゴリズムを与える。 例えば$mathrmGL_n(mathbbZ/NmathbbZ)$ for every $Nge2$, and with a explicit maximal-order presentation, $mathrmGL_n(mathcalO_K/NmathcalO_K)$ for field number $K$である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7277199466514768
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We give a bounded-error quantum polynomial-time algorithm for finding hidden parabolic subgroups of $\mathrm{GL}_n(R)$ over any effectively presented finite chain ring $R$. We call auxiliary group elements or subgroups used to extract information through oracle queries \emph{probes}. For chain length at least two, elementary abelian socle probes first recover the complete flag modulo the maximal ideal. When the residue field has size $q\ge3$, we reconstruct the flag recursively, lifting rank-one terminal members one digit at a time. The intermediate digits reduce to abelian hidden subgroup problems, while the final digit is a finite-field multiple-shift problem solved using learning from subset and Fourier sampling. For $q=2$, where distinct flags can have the same stabilizer, we instead lift the conjugate parabolic subgroup through the congruence filtration. A final linear system determines it modulo normalizer directions. The algorithm outputs generators with probability at least $1-ε$ in time $\mathrm{poly}(n,\log|R|,\log(1/ε))$. Consequences include $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ for every $N\ge2$ and, with an explicit maximal-order presentation, $\mathrm{GL}_n(\mathcal{O}_K/N\mathcal{O}_K)$ for number fields $K$.
• Abstract（参考訳）: 有効に提示された任意の有限鎖環 $R$ 上で、$\mathrm{GL}_n(R)$ の隠された放物的部分群を見つけるための有界誤り量子多項式時間アルゴリズムを与える。 私たちは、オラクルクエリー \emph{probes} を通じて情報を抽出するために使用される補助グループ要素またはサブグループを呼び出します。 少なくとも2つの鎖長に対して、初等アーベルソクルプローブは、まず極大イデアルを変調して完備フラグを復元する。 剰余体が$q\ge3$のとき、フラグを再帰的に再構築し、ランク1の端末部材を1桁ずつ持ち上げる。 中間桁はアーベル隠れ部分群問題に還元され、最終桁は有限フィールド多重シフト問題である。 異なるフラグが同じ安定化器を持つことができる$q=2$の場合、共役パラボラ部分群を共役濾過により持ち上げる。 最終線形系はモジュロ正規化器方向を決定する。 このアルゴリズムは、少なくとも1-ε$の確率で$\mathrm{poly}(n,\log|R|,\log(1/ε))$を出力する。 結果として、すべての$N\ge2$に対して$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$、明示的な極大順序のプレゼンテーションにより$K$に対して$\mathrm{GL}_n(\mathcal{O}_K/N\mathcal{O}_K)$となる。

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