論文の概要: Minimax Optimality of the NPMLE for Gaussian Mixtures in Hellinger Distance
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.30109v1
- Date: Wed, 21 Oct 2026 17:53:10 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-23 00:40:06.466394
- Title: Minimax Optimality of the NPMLE for Gaussian Mixtures in Hellinger Distance
- Title（参考訳）: ヘリンジャー距離のガウス混合に対するNPMLEの最小最適性
- Abstract要約: 我々は、非拘束NPMLEが、真の混合測度がガウス級であるとき、二乗ヘルリンガー距離における最小最大速度$log(n)/n$を達成することを示す。
我々の重要な技術革新の1つは、ボールのバウンド・ディグリーのブラケット・エントロピーを著しく制限することであり、これは独立した関心を持つかもしれない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7188280334580195
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We analyze the problem of estimating univariate Gaussian mixture densities using the nonparametric maximum likelihood estimator (NPMLE) based on $n$ independent and identically distributed samples. We show that the unconstrained NPMLE achieves the minimax optimal rate $\log(n)/n$ in squared Hellinger distance, when the true mixing measure is sub-Gaussian. In addition, we show that when the true mixing measure has compact support, the NMPLE constrained to a compact interval also achieves the minimax optimal rate, which is slightly faster and of order $\log(n)/(n \log \log n)$. Our proof consists of sharply characterizing the local Hellinger bracketing entropy of the class of finite Gaussian mixtures. One of our key technical innovations is to sharply bound the $L^2$ bracketing entropy of balls of bounded-degree polynomials, which may be of independent interest. As an application, we establish the regret-optimality of $g$-modeling procedures based on the NPMLE in the Gaussian Empirical Bayes problem with bounded priors.
- Abstract（参考訳）: 非パラメトリック最大極大推定器 (NPMLE) を用いて単変量ガウス混合密度を推定する問題を$n$独立および同一分布サンプルに基づいて解析する。
我々は、非拘束NPMLEが、真の混合測度がガウス級であるとき、二乗ヘルジンガー距離における最小最大速度$\log(n)/n$を達成することを示す。
さらに、真の混合測度がコンパクトなサポートを持つとき、コンパクト区間に制約された NMPLE もまた、わずかに高速で次数$\log(n)/(n \log \log n)$ のミニマックス最適率を達成することを示す。
我々の証明は、有限ガウス混合のクラスにおける局所ヘルリンガーブラケットエントロピーを鋭く特徴づけることから成り立っている。
我々の重要な技術的革新の1つは、有界次数多項式の球の$L^2$ブラッキングエントロピーを鋭く束縛することである。
応用として、ガウス経験ベイズ問題における NPMLE に基づく$g$-modeling 手順の残酷な最適性を確立する。
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