論文の概要: Probabilistic Meshless Methods on Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.39855v1
• Date: Thu, 29 Oct 2026 11:34:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-31 05:25:12.499281
• Title: Probabilistic Meshless Methods on Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の確率的メッシュレス法
• Abstract要約: 確率的メッシュレス法は偏微分方程式を解く。 それらの収束を2つの設定で研究する。 円、球、そして平らなトーラスに関する実験は、我々の理論的な主張を裏付けるものである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.737454198317998
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Probabilistic meshless methods solve partial differential equations (PDEs) by placing a Gaussian process prior on the solution and conditioning it on the PDE at a finite set of collocation nodes. The posterior provides both an approximation of the solution and a Bayesian quantification of its error. While these methods are well established on Euclidean domains, their extension to manifolds lacks, to our knowledge, any convergence analysis. We extend them to compact manifolds and study their convergence in two settings. First, for known manifolds whose Laplace-Beltrami eigenpairs are available, the prior can be evaluated exactly, but the PDE operator generally cannot be applied to it in closed form. We replace this operator by a standard generalized finite difference discretization on a point cloud sampled from the manifold, and show that the resulting method is consistent at the points of the cloud, at a rate governed by their fill distance. Second, for implicit manifolds, known only through a point cloud, both the prior and the operator must be approximated. We propose a new generalized finite difference scheme with a free stencil radius, and show that it retains the consistency of the standard construction while controlling the growth of its coefficients, and that an appropriate radius yields uniform convergence of the discrete Gram matrix. In both settings, we derive error bounds for the posterior mean which separate the collocation error intrinsic to the method from the error due to approximating the operator and, for implicit manifolds, the prior. Experiments on the circle, the sphere and the flat torus confirm our theoretical claims. On real-world cortical thickness data, our approach attains the accuracy of established discretizations, while conditioning on fewer than a tenth of the observations and providing a credible interval at every vertex.
• Abstract（参考訳）: 確率論的メッシュレス法による偏微分方程式(PDE)は、解にガウス過程を配置し、有限のコロケーションノードの集合でPDEに条件付けすることで解決する。 後部は解の近似とその誤差のベイズ量化の両方を提供する。 これらの手法はユークリッド領域上で十分に確立されているが、多様体への拡張は我々の知識、いかなる収束解析にも欠けている。 それらをコンパクト多様体に拡張し、それらの収束を2つの設定で研究する。 第一に、ラプラス・ベルトラミ固有ペアが利用可能である既知の多様体に対しては、前者は正確に評価できるが、PDE作用素は一般に閉形式では適用できない。 我々は、この作用素を、多様体からサンプリングされた点雲上の標準的な一般化有限差分離散化によって置き換え、その結果の方法は、雲の点において、その充填距離によって支配される速度で一貫したことを示す。 第二に、暗黙多様体に対しては、点雲を通してのみ知られているが、前者と作用素の両方を近似しなければならない。 自由ステンシル半径を持つ新しい一般化有限差分スキームを提案し、その係数の成長を制御しながら標準構成の整合性を維持し、適切な半径が離散文法行列の一様収束をもたらすことを示す。 いずれの設定においても、演算子の近似による誤差と、前者の暗黙的多様体との相関誤差を分離した後平均の誤差境界を導出する。 円、球、そして平らなトーラスに関する実験は、我々の理論的な主張を裏付けるものである。 実世界の皮質厚みデータでは,観測の10分の1未満を条件とし,各頂点に信頼区間を与えながら,確立された離散化の精度が得られた。

関連論文リスト

• MaDeL: Manifold-Decomposed Feature Losses for Generative Modeling [60.52920286643249]
  生成モデルは平均二乗誤差のような等方的目的によってしばしば訓練される。 しかし、低次元多様体の近くに集中したデータに対して、そのような損失は、有効変動を表す多様体に沿った変位と、それから逸脱し、無効なサンプルを生成する。 生成目的は、多様体を明示的に推定することなく、データから直接多様体-直交偏差から多様体-平行変動を区別できるかどうかを問う。
  論文  参考訳（メタデータ） (2026-10-03T10:15:49Z)
• Distance-Residual Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Differential and Partial Differential Inclusions [0.1141780544549208]
  距離残留型物理ニューラルネットワーク(DRPINN)について紹介する。 DRPINNsは、通常および偏微分包摂(DI)の解を近似するための物理インフォームドラーニングフレームワークである 実験は、差分包摂ベンチマークで高い精度を示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2026-09-25T22:16:19Z)
• Density-Aware Noise Mechanisms for Differential Privacy on Riemannian Manifolds via Conformal Transformation [1.5632754424046598]
  共形変換に基づく密度認識型差分プライバシー機構を開発した。 我々は,不均一な多様体設定におけるプライバシ・ユーティリティのトレードオフを大幅に改善することが実証された。
  論文  参考訳（メタデータ） (2025-04-29T17:05:55Z)
• Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion [45.57801520690309]
  離散化マルコフ過程に基づく$mu_phi $の線形汎函数の2つの推定器を検討する。 誤差境界は、本質的に定義されたランゲヴィン拡散の離散化を用いてサンプリングと推定のために導出される。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-12-22T18:01:11Z)
• Last-Iterate Convergence of Adaptive Riemannian Gradient Descent for Equilibrium Computation [52.73824786627612]
  本稿では,テクスト幾何学的強単調ゲームに対する新たな収束結果を確立する。 我々のキーとなる結果は、RGDがテクスト幾何学的手法で最終定位線形収束を実現することを示しています。 全体として、ユークリッド設定を超えるゲームに対して、幾何学的に非依存な最終点収束解析を初めて提示する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-06-29T01:20:44Z)
• Optimal policy evaluation using kernel-based temporal difference methods [78.83926562536791]
  カーネルヒルベルト空間を用いて、無限水平割引マルコフ報酬過程の値関数を推定する。 我々は、関連するカーネル演算子の固有値に明示的に依存した誤差の非漸近上界を導出する。 MRP のサブクラスに対する minimax の下位境界を証明する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-09-24T14:48:20Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。