論文の概要: Learning to evolve by matching velocities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.00448v1
• Date: Fri, 30 Oct 2026 23:03:28 GMT
• ステータス: 情報取得中
• システム内更新日: 2026-11-03 19:19:05.857727
• Title: Learning to evolve by matching velocities
• Title（参考訳）: 速度の一致による進化の学習
• Abstract要約: 転がり地平線が増加するにつれて軌道に基づく目的が縮退し、勾配に基づく最適化が妨げられることを示す。 本研究では, サンプリング段階において, 速度集団のリスクを2次に近似するシミュレーション不要な手法であるVelocity Matching(VM)を紹介する。 VMは、トラジェクトリベースの目的よりも精度を向上し、シミュレーションコストと長期ロールアウトの不安定さの両方を避けます。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.42970700836450487
• License:
• Abstract: Learning the continuous-time evolution of nonlinear dynamical systems relies on trajectory-based objectives, which require simulating the learned dynamics during training and backpropagating through the numerical scheme, at a cost that grows with the rollout horizon. We show that trajectory-based objectives degenerate as the rollout horizon increases, hindering gradient-based optimization, and that the numerical scheme biases the learned dynamics by constraining the spectrum of the learned Jacobian to its absolute stability region. To overcome these limitations, we introduce Velocity Matching (VM), a simulation-free objective that relies on piecewise-linear interpolation and stochastic collocation, and approximates the velocity population risk to second order in the sampling step. We develop a theoretical framework for velocity-based learning, introducing stability estimates that control trajectory errors in terms of velocity errors, which enable us to establish universal and continuous-time approximation results when the learned velocity field is parameterized by deep neural networks. Building on a bias-variance decomposition of the VM objective, we show that its higher-order approximation of the velocity population risk yields a consistent minimizer; that it relates to the residual of an A-stable continuous-stage Runge-Kutta scheme, thus connecting VM to implicit integration without requiring any implicit solve; and that it implicitly matches the action of the learned Jacobian to that of the true one along the observed trajectories, without requiring access to the underlying velocity field or its Jacobian. Numerical experiments on nonlinear ordinary differential equations and semi-discretized time-dependent partial differential equations show that VM improves accuracy over trajectory-based objectives, while avoiding both the cost of simulation and the instabilities of long rollouts.
• Abstract（参考訳）: 非線形力学系の連続的時間進化の学習は、軌道に基づく目的に依存しており、これは、ロールアウト地平線とともに増大するコストで、訓練中に学習された力学をシミュレーションし、数値スキームを通してバックプロパゲーションする必要がある。 軌道に基づく目的は、ロールアウト地平線が増加するにつれて縮退し、勾配に基づく最適化を妨げることを示し、数値スキームは学習ヤコビアンスペクトルを絶対安定領域に制限することで学習力学をバイアスすることを示した。 これらの制限を克服するために,数次線形補間と確率的コロケーションに依存するシミュレーション不要な目的であるVelocity Matching(VM)を導入し,サンプリングステップにおいて,速度集団のリスクを2次に近似する。 本研究では, 学習速度場が深部ニューラルネットワークによってパラメータ化される場合, 速度誤差の観点から軌道誤差を制御する安定性推定を導入し, 学習速度場がパラメータ化される場合に, 普遍的かつ連続的な時間近似結果を確立することを可能とする。 VM目標のバイアス分散分解に基づいて、速度集団リスクの高次近似が一貫した最小値が得られること、A-stable連続ステージのルンゲ・クッタスキームの残差に関連すること、そして、暗黙の解決を必要としない暗黙の積分にVMを接続すること、そして、学習されたヤコビアンが観測された軌道に沿った真の軌道の行動と暗黙の一致を、基礎となる速度場やそのジャコビアンへのアクセスを必要としないことを示す。 非線形常微分方程式と半離散時間依存偏微分方程式の数値実験により、VMは軌道に基づく目的よりも精度を向上し、長いロールアウトのコストと不安定性の両方を避けた。

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