論文の概要: Matrix integrals over unitary groups: An application of Schur-Weyl duality
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/1408.3782v6
- Date: Wed, 30 Oct 2024 07:54:31 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-11-04 01:02:21.781883
- Title: Matrix integrals over unitary groups: An application of Schur-Weyl duality
- Title（参考訳）: ユニタリ群上の行列積分:シュル=ワイル双対性の適用
- Authors: Lin Zhang,
- Abstract要約: ユニタリ群 $mathsfU(d)$ に関する積分公式は包括的にレビューされている。
シュル=ワイル双対性はブリッジとして機能し、有限群の表現論と古典リー群の表現論とを深く結び付ける。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.927579219242575
- License:
- Abstract: The integral formulae pertaining to the unitary group $\mathsf{U}(d)$ have been comprehensively reviewed, yielding fresh results and innovative proofs. Central to the derivation of these formulae lies the employment of Schur-Weyl duality, a classical and powerful theorem from the representation theory of groups. This duality serves as a bridge, establishing a profound connection between the representation theory of finite groups (or permutation groups) and that of classical Lie groups, specifically the unitary groups. From the perspective of Schur-Weyl duality, it becomes evident that the computation of matrix integrals over the unitary group is intricately intertwined with the so-called Weingarten function. The explicit evaluation of this function is heavily dependent on three crucial aspects: firstly, the dimensions of the irreducible representations of the unitary groups; secondly, the dimensions of the irreducible representations of permutation groups; and thirdly, the irreducible characters of permutation groups. For the first two aspects, we can rely on well-established formulae. Specifically, the dimensions of irreducible representations of both unitary and permutation groups can be determined using the hook-length formula attributed to Frame, Robinson,and Thrall, as well as the hook-content formula proposed by Stanley. However, the third aspect poses a more intricate challenge. Unfortunately, despite significant efforts, there remains no unifying closed-form formula for the generic irreducible characters of permutation groups, except for a few special cases involving particular partitions. Given the significance of these irreducible characters, it is crucial to have a comprehensive understanding of them. Fortunately, all the information pertaining to the irreducible characters belonging to a given permutation group is encoded in a so-called character table......
- Abstract（参考訳）: ユニタリ群 $\mathsf{U}(d)$ に関する積分公式は包括的にレビューされ、新鮮な結果と革新的な証明が得られる。
これらの公式の導出の中心は、群の表現論から古典的で強力な定理であるシュル=ワイル双対性(英語版)(Schur-Weyl duality)を採用することである。
この双対性はブリッジとして機能し、有限群(あるいは置換群)の表現論と古典リー群の表現論、特にユニタリ群との深い関係を確立する。
シュル=ワイル双対性の観点からは、ユニタリ群上の行列積分の計算が、いわゆるワインガルテン函数と複雑に絡み合っていることが明らかになる。
この関数の明示的な評価は、3つの重要な側面に大きく依存している: 第一に、ユニタリ群の既約表現の次元、第二に、置換群の既約表現の次元、第三に、置換群の既約文字。
最初の2つの側面は、確立された公式に依存することができる。
具体的には、ユニタリ群と置換群の両方の既約表現の次元は、フレーム、ロビンソン、スラルの帰属するフック長公式と、スタンレーが提唱したフック内容式を用いて決定することができる。
しかし、第3の側面はより複雑な課題を引き起こします。
残念なことに、重要な努力にもかかわらず、特定の分割を含むいくつかの特別なケースを除いて、置換群の一般既約文字に対する統一された閉形式公式はいまだに存在しない。
これらの既約文字の重要性を考えると、それらを包括的に理解することが重要である。
幸いなことに、与えられた置換グループに属する既約文字に関するすべての情報は、いわゆる文字表にエンコードされている。
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