論文の概要: From port-based teleportation to Frobenius reciprocity theorem: partially reduced irreducible representations and their applications

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.16423v2
• Date: Thu, 18 Apr 2024 07:56:51 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-19 14:29:13.920201
• Title: From port-based teleportation to Frobenius reciprocity theorem: partially reduced irreducible representations and their applications
• Title（参考訳）: ポートベーステレポーテーションからフロベニウスの相互性定理:部分的に還元された既約表現とその応用
• Authors: Marek Mozrzymas, Michał Horodecki, Michał Studziński,
• Abstract要約: 我々は、$n$システムに作用するポートベースのテレポーテーション作用素のスペクトルが、対称群 $S(n-1)subset S(n)$ に対して、Jucys-Murphy作用素のスペクトルと非常に単純な方法で連結されていることを示す。 このことは、対称群の表現論の観点から、テレポーレーションと基本対象の1つの間の技術的なレベルの関係を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.024113475677323
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we present the connection of two concepts as induced representation and partially reduced irreducible representations (PRIR) appear in the context of port-based teleportation protocols. Namely, for a given finite group $G$ with arbitrary subgroup $H$, we consider a particular case of matrix irreducible representations, whose restriction to the subgroup $H$, as a matrix representation of $H$, is completely reduced to diagonal block form with an irreducible representation of $H$ in the blocks. The basic properties of such representations are given. Then as an application of this concept, we show that the spectrum of the port-based teleportation operator acting on $n$ systems is connected in a very simple way with the spectrum of the corresponding Jucys-Murphy operator for the symmetric group $S(n-1)\subset S(n)$. This shows on the technical level relation between teleporation and one of the basic objects from the point of view of the representation theory of the symmetric group. This shows a deep connection between the central object describing properties of deterministic PBT schemes and objects appearing naturally in the abstract representation theory of the symmetric group. In particular, we present a new expression for the eigenvalues of the Jucys-Murphy operators based on the irreducible characters of the symmetric group. As an additional but not trivial result, we give also purely matrix proof of the Frobenius reciprocity theorem for characters with explicit construction of the unitary matrix that realizes the reduction of the natural basis of induced representation to the reduced one.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、ポートベースのテレポーテーションプロトコルの文脈において、誘導表現と部分的に還元された既約表現(PRIR)として2つの概念の関連性を示す。 すなわち、任意の部分群 $H$ を持つ与えられた有限群 $G$ に対して、その部分群 $H$ に対する制限がブロック内の $H$ の既約表現を持つ対角ブロック形式に完全に還元されるような行列既約表現の特定のケースを考える。 そのような表現の基本的な性質が与えられる。 そして、この概念の応用として、$n$システムに作用するポートベースのテレポーテーション作用素のスペクトルが、対称群 $S(n-1)\subset S(n)$ に対して対応するジューシー・マーフィー作用素のスペクトルと非常に単純な方法で連結されていることを示す。 このことは、対称群の表現論の観点から、テレポーレーションと基本対象の1つの間の技術的なレベルの関係を示す。 これは、決定論的 PBT スキームの性質を記述する中心対象と対称群の抽象表現論において自然に現れる対象との間に深い関係を示す。 特に、対称群の既約指標に基づいて、Jucys-Murphy作用素の固有値に対する新しい式を示す。 付加的ではあるが自明な結果として、単項行列の明示的な構成を持つ文字に対してフロベニウスの相互性定理の純粋に行列証明を与え、還元された表現への帰納表現の自然な基底の減少を実現する。

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