論文の概要: Tight Quantum Lower Bound for Approximate Counting with Quantum States

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2002.06879v2
• Date: Tue, 7 May 2024 15:35:22 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-08 20:57:01.552161
• Title: Tight Quantum Lower Bound for Approximate Counting with Quantum States
• Title（参考訳）: 量子状態を考慮した近似計数のためのタイト量子ローバウンド
• Authors: Aleksandrs Belovs, Ansis Rosmanis,
• Abstract要約: Aaronson, Kothari, Kretschmer, Thaler (2020) が考える数え上げ問題の次の変種に対する厳密な下界を証明する。 このタスクは、入力セット$xsubseteq [n]$が$k$か$k'=(1+varepsilon)k$であるかどうかを識別する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.6558487240078
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We prove tight lower bounds for the following variant of the counting problem considered by Aaronson, Kothari, Kretschmer, and Thaler (2020). The task is to distinguish whether an input set $x\subseteq [n]$ has size either $k$ or $k'=(1+\varepsilon)k$. We assume the algorithm has access to * the membership oracle, which, for each $i\in [n]$, can answer whether $i\in x$, or not; and \item the uniform superposition $|\psi_x\rangle = \sum_{i\in x} |i\rangle/\sqrt{|x|}$ over the elements of $x$. Moreover, we consider three different ways how the algorithm can access this state: - the algorithm can have copies of the state $|\psi_x\rangle$; - the algorithm can execute the reflecting oracle which reflects about the state $|\psi_x\rangle$; - the algorithm can execute the state-generating oracle (or its inverse) which performs the transformation $|0\rangle\mapsto|\psi_x\rangle$. Without the second type of resources (the ones related to $|\psi_x\rangle$), the problem is well-understood. The study of the problem with the second type of resources was recently initiated by Aaronson et al. We completely resolve the problem for all values of $1/k \le \varepsilon\le 1$, giving tight trade-offs between all types of resources available to the algorithm. We also demonstrate that our lower bounds are tight. Thus, we close the main open problems from Aaronson et al. The lower bounds are proven using variants of the adversary bound from Belovs (2015) and employing representation theory of the symmetric group applied to the $S_n$-modules $\mathbb{C}^{\binom{[n]}k}$ and $\mathbb{C}^{\binom{[n]}k}\otimes \mathbb{C}$.
• Abstract（参考訳）: Aaronson, Kothari, Kretschmer, Thaler (2020) が考える数え上げ問題の次の変種について、厳密な下界を証明する。 このタスクは、入力セット$x\subseteq [n]$が$k$か$k'=(1+\varepsilon)k$であるかどうかを識別する。 i\in x$, and \item the uniform superposition $|\psi_x\rangle = \sum_{i\in x} |i\rangle/\sqrt{|x|}$ over the element of $x$。 さらに、アルゴリズムはこの状態にどのようにアクセスできるかを3つの異なる方法で検討する: - アルゴリズムは状態のコピーを持つことができる $|\psi_x\rangle$; - アルゴリズムは状態に関する反射オラクルを実行できる $|\psi_x\rangle$; - アルゴリズムは状態を生成するオラクル(またはその逆)を実行でき、変換は$|0\rangle\mapsto|\psi_x\rangle$。 第2のタイプのリソース($|\psi_x\rangle$に関連するもの)がなければ、問題はよく理解される。 第2のタイプのリソースによる問題の研究は、最近Aaronsonらによって始められ、我々は1/k \le \varepsilon\le 1$の全ての値の問題を完全に解決した。 また、下限が厳密であることも示している。 したがって、Aaronson et al の主な開問題を閉じる 下界は、Belovs (2015) の逆境界の不変量を用いて証明され、$S_n$-加群 $\mathbb{C}^{\binom{[n]}k}$ および $\mathbb{C}^{\binom{[n]}k}\otimes \mathbb{C}$ に適用される対称群の表現理論が用いられる。

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