論文の概要: On the convergence of physics informed neural networks for linear second-order elliptic and parabolic type PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2004.01806v2
• Date: Wed, 21 Oct 2020 19:16:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-17 05:10:59.055536
• Title: On the convergence of physics informed neural networks for linear second-order elliptic and parabolic type PDEs
• Title（参考訳）: 線形二階楕円型および放物型PDEのための物理情報ニューラルネットワークの収束について
• Authors: Yeonjong Shin, Jerome Darbon, George Em Karniadakis
• Abstract要約: 物理情報ニューラルネットワーク(PINN)は、偏微分方程式(PDE)を解くためのディープラーニングに基づく技術である 最小化器の列は$C0$でPDE解に強く収束することを示す。 私たちの知る限りでは、PINNの一貫性を示す最初の理論的研究である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Physics informed neural networks (PINNs) are deep learning based techniques for solving partial differential equations (PDEs) encounted in computational science and engineering. Guided by data and physical laws, PINNs find a neural network that approximates the solution to a system of PDEs. Such a neural network is obtained by minimizing a loss function in which any prior knowledge of PDEs and data are encoded. Despite its remarkable empirical success in one, two or three dimensional problems, there is little theoretical justification for PINNs. As the number of data grows, PINNs generate a sequence of minimizers which correspond to a sequence of neural networks. We want to answer the question: Does the sequence of minimizers converge to the solution to the PDE? We consider two classes of PDEs: linear second-order elliptic and parabolic. By adapting the Schauder approach and the maximum principle, we show that the sequence of minimizers strongly converges to the PDE solution in $C^0$. Furthermore, we show that if each minimizer satisfies the initial/boundary conditions, the convergence mode becomes $H^1$. Computational examples are provided to illustrate our theoretical findings. To the best of our knowledge, this is the first theoretical work that shows the consistency of PINNs.
• Abstract（参考訳）: 物理情報ニューラルネットワーク(英: Physics Information Neural Network, PINN)は、計算科学や工学で用いられる偏微分方程式(PDE)の解法である。 データと物理法則によって導かれるPINNは、PDEのシステムに対する解を近似するニューラルネットワークを見つける。 このようなニューラルネットワークは、PDEやデータの事前知識を符号化した損失関数を最小化することにより得られる。 1、3次元問題において顕著な経験的成功にもかかわらず、PINNの理論的正当性はほとんどない。 データ数が増加するにつれて、PINNはニューラルネットワークのシーケンスに対応する最小化器のシーケンスを生成する。 最小化器の列はPDEの解に収束するのか? PDEのクラスは線形二階楕円型と放物型である。 シャウダー法と最大原理を適用することにより、最小化子の列は$C^0$でPDE解に強く収束することを示す。 さらに、各最小化器が初期/境界条件を満たすならば、収束モードは$H^1$となる。 理論的知見を示すための計算例を提示する。 私たちの知る限りでは、PINNの一貫性を示す最初の理論的研究である。

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