論文の概要: Solving PDEs on Unknown Manifolds with Machine Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.06682v4
- Date: Tue, 27 Feb 2024 18:29:18 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-29 01:33:27.312364
- Title: Solving PDEs on Unknown Manifolds with Machine Learning
- Title（参考訳）: 機械学習による未知多様体上のpdes解法
- Authors: Senwei Liang and Shixiao W. Jiang and John Harlim and Haizhao Yang
- Abstract要約: 本稿では,未知多様体上の楕円型PDEを解くためのメッシュフリー計算フレームワークと機械学習理論を提案する。
提案したNNソルバは,新しいデータポイント上の一般化とほぼ同一の誤差を持つ新しいデータポイント上でPDEを強固に一般化できることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.220217498103315
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper proposes a mesh-free computational framework and machine learning
theory for solving elliptic PDEs on unknown manifolds, identified with point
clouds, based on diffusion maps (DM) and deep learning. The PDE solver is
formulated as a supervised learning task to solve a least-squares regression
problem that imposes an algebraic equation approximating a PDE (and boundary
conditions if applicable). This algebraic equation involves a graph-Laplacian
type matrix obtained via DM asymptotic expansion, which is a consistent
estimator of second-order elliptic differential operators. The resulting
numerical method is to solve a highly non-convex empirical risk minimization
problem subjected to a solution from a hypothesis space of neural networks
(NNs). In a well-posed elliptic PDE setting, when the hypothesis space consists
of neural networks with either infinite width or depth, we show that the global
minimizer of the empirical loss function is a consistent solution in the limit
of large training data. When the hypothesis space is a two-layer neural
network, we show that for a sufficiently large width, gradient descent can
identify a global minimizer of the empirical loss function. Supporting
numerical examples demonstrate the convergence of the solutions, ranging from
simple manifolds with low and high co-dimensions, to rough surfaces with and
without boundaries. We also show that the proposed NN solver can robustly
generalize the PDE solution on new data points with generalization errors that
are almost identical to the training errors, superseding a Nystrom-based
interpolation method.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,拡散マップ(DM)とディープラーニングに基づいて,点雲と同一視される未知多様体上の楕円型PDEを解くためのメッシュフリー計算フレームワークと機械学習理論を提案する。
PDEソルバは、PDEを近似する代数方程式を課す最小二乗回帰問題を解くための教師付き学習タスクとして定式化される。
この代数方程式は、二階楕円微分作用素の一貫した推定器であるDM漸近展開によって得られるグラフ-ラプラシア型行列を含む。
その結果,ニューラルネットワーク(NN)の仮説空間から解を導いた,非凸な経験的リスク最小化問題の解法が得られた。
十分に仮定された楕円型pde設定では、仮説空間が無限幅または深さのニューラルネットワークからなるとき、経験的損失関数の大域的最小化は大きなトレーニングデータの限界における一貫した解であることを示す。
仮説空間が2層ニューラルネットワークである場合、十分に広い幅に対して、勾配降下は経験的損失関数の大域的最小化を識別できることを示す。
数値的な例を支持することは、解の収束を示し、低次元かつ高次元の単純多様体から境界のない粗曲面までである。
また,提案したNNソルバは,Nystromを用いた補間法に代えて,トレーニングエラーとほぼ同一の一般化誤差を持つ新たなデータポイント上でPDE解を強固に一般化できることを示す。
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