論文の概要: The nucleus of an adjunction and the Street monad on monads
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2004.07353v3
- Date: Wed, 24 Nov 2021 16:26:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-12-13 04:17:53.346484
- Title: The nucleus of an adjunction and the Street monad on monads
- Title（参考訳）: アドジャンクションの核とモナド上のストリートモナド
- Authors: Dusko Pavlovic and Dominic J.D.Hughes
- Abstract要約: すべての分岐が原子核の分岐に解決できることが示される。
随伴作用素の随伴作用素の特異値分解がそれらの標準基底を表示するのと同じように、随伴作用素の核はその概念コアを表示する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2691047660244335
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: An adjunction is a pair of functors related by a pair of natural
transformations, and relating a pair of categories. It displays how a
structure, or a concept, projects from each category to the other, and back.
Adjunctions are the common denominator of Galois connections, representation
theories, spectra, and generalized quantifiers. We call an adjunction nuclear
when its categories determine each other. We show that every adjunction can be
resolved into a nuclear adjunction. This resolution is idempotent in a strong
sense. The nucleus of an adjunction displays its conceptual core, just as the
singular value decomposition of an adjoint pair of linear operators displays
their canonical bases.
The two composites of an adjoint pair of functors induce a monad and a
comonad. Monads and comonads generalize the closure and the interior operators
from topology, or modalities from logic, while providing a saturated view of
algebraic structures and compositions on one side, and of coalgebraic dynamics
and decompositions on the other. They are resolved back into adjunctions over
the induced categories of algebras and of coalgebras. The nucleus of an
adjunction is an adjunction between the induced categories of algebras and
coalgebras. It provides new presentations for both, revealing the meaning of
constructing algebras for a comonad and coalgebras for a monad.
In his seminal early work, Ross Street described an adjunction between monads
and comonads in 2-categories. Lifting the nucleus construction, we show that
the resulting Street monad on monads is strongly idempotent, and extracts the
nucleus of a monad. A dual treatment achieves the same for comonads. Applying a
notable fragment of pure 2-category theory on an acute practical problem of
data analysis thus led to new theoretical result.
- Abstract（参考訳）: 随伴(英: adjunction)とは、一対の自然な変換と一対の圏に関連する一対の関手である。
構造(あるいは概念)が各カテゴリから別のカテゴリ、あるいは後方へどのように投影されるかを示す。
随伴はガロア接続、表現理論、スペクトル、一般化量化器の共通分母である。
我々は、そのカテゴリーが互いに決定するときに、アジャンクション核(adjunction nuclear)と呼ぶ。
すべての分岐は核結合に分解可能であることを示す。
この解決は、強い意味ではべき等である。
随伴の核はその概念核を表し、ちょうど隣接する線型作用素の対の特異値分解がそれらの標準基底を表示するのと同じである。
隣接した2つの関手の組み合わせはモナドとコモナドを誘導する。
モナドとコモナドは、トポロジーや論理学からのモダリティから閉包と内部作用素を一般化し、一方の代数的構造や構成、もう一方の代数的力学や分解の飽和ビューを提供する。
これらは代数とコリゲブラの誘導圏上の結合に分解される。
結合の核は、代数の誘導圏とコリゲブラの間の結合である。
両者に新しいプレゼンテーションを提供し、コモナドの代数とモナドのコリゲブラを構築する意味を明らかにする。
ロス・ストリートは初歩的な著作の中で、モナドとコモナドの接点を2つのカテゴリーで記述した。
核構造をリフティングすると、モナドのストリートモナドは強い等質性を示し、モナドの核を抽出する。
二重治療はコモナドに対しても同様である。
データ解析の急激な実践的問題に純粋2カテゴリー理論の顕著な断片を適用することで、新たな理論結果が導かれた。
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