論文の概要: Hyperpolyadic structures
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.01366v5
- Date: Tue, 30 Jul 2024 15:23:02 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-31 22:39:45.197665
- Title: Hyperpolyadic structures
- Title(参考訳): 超ポリジウム構造
- Authors: Steven Duplij,
- Abstract要約: 我々は、二元除算代数である $mathbbR$, $mathbbC$, $mathbbH$, $mathbbO$ に対応し、新しい元を考慮せずに新たな除算代数のクラス、超ポリジウム代数を導入する。
各可逆元に対して、多元乗法的な新しいノルムを定義し、対応する写像は$n$-ary準同型である。
虚数の「半オクトニオン」の3次除算代数が単数で完全であることを示す。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a new class of division algebras, the hyperpolyadic algebras, which correspond to the binary division algebras $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$ without considering new elements. First, we use the matrix polyadization procedure proposed earlier which increases the dimension of the algebra. The algebras obtained in this way obey binary addition and a nonderived n-ary multiplication and their subalgebras are division n-ary algebras. For each invertible element we define a new norm which is polyadically multiplicative, and the corresponding map is a $n$-ary homomorphism. We define a polyadic analog of the Cayley-Dickson construction which corresponds to the consequent embedding of monomial matrices from the polyadization procedure. We then obtain another series of n-ary algebras corresponding to the binary division algebras which have a higher dimension, that is proportional to the intermediate arities. Second, a new polyadic product of vectors in any vector space is defined. Endowed with this product the vector space becomes a polyadic algebra which is a division algebra under some invertibility conditions, and its structure constants are computed. Third, we propose a new iterative process ("imaginary tower"), which leads to nonunital nonderived ternary division algebras of half the dimension, which we call "half-quaternions" and "half-octonions". The latter are not subalgebras of the binary division algebras, but subsets only, since they have different arity. Nevertheless, they are actually ternary division algebras, because they allow division, and their nonzero elements are invertible. From the multiplicativity of the introduced "half-quaternion" norm we obtain the ternary analog of the sum of two squares identity. We show that the ternary division algebra of imaginary "half-octonions" is unitless and totally associative.
- Abstract(参考訳): 分割代数の新しいクラスである双対代数(英語版)(hyperpolyadic algebra)を導入し、これは二元除算代数 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$ に対応する。
まず、代数の次元を増大させる前に提案した行列多元化法を用いる。
この方法で得られる代数は二進加法と非線型乗法に従属し、それらの部分代数は n-項代数である。
各可逆元に対して、多元乗法的な新しいノルムを定義し、対応する写像は$n$-ary準同型である。
本稿では, 単相行列の連続埋め込みに対応するケイリー・ディクソン構成の多進的類似を, 多元化法から定義する。
次に、中間アーニティに比例する高次元を持つ二元除算代数に対応する別の n-項代数を得る。
第二に、任意のベクトル空間におけるベクトルの新しい多進積が定義される。
この積に内包されたベクトル空間は、ある可逆条件下での分割代数である多進代数となり、その構造定数が計算される。
第3に、「半四元数」および「半八元数」と呼ばれる次元の半分の非単位非独立な三元除算代数を導く新しい反復過程(虚数塔)を提案する。
後者は二元除算代数の部分代数ではなく、アーリー性が異なるため部分環のみである。
それでも、それらは3次分割代数であり、それは分割を許容し、それらの非零元は可逆であるからである。
導入された「半四元数」ノルムの乗法性から、2つの正方形の和の3次アナログを得る。
虚数的「半オクトニオン」の三元除算代数は単数で完全連想的であることを示す。
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