論文の概要: The Signature Kernel is the solution of a Goursat PDE

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.14794v9
• Date: Sat, 20 Mar 2021 19:58:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-16 22:05:38.612226
• Title: The Signature Kernel is the solution of a Goursat PDE
• Title（参考訳）: 署名カーネルはGoursat PDEの解である
• Authors: Cristopher Salvi, Thomas Cass, James Foster, Terry Lyons, Weixin Yang
• Abstract要約: 連続的な微分可能パスに対して、シグネチャカーネルは双曲型PDEを解き、文献でよく知られる微分方程式のクラスとの接続をグールサット問題として認識する。 このGoursat PDEは入力シーケンスの増分にのみ依存し、シグネチャの明示的な計算を必要としない。 我々は、シーケンシャルデータを扱う機械学習アプリケーションにおいて、機械学習ツールとしてのPDEカーネルの有効性を実証的に実証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.107838656561766
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Recently, there has been an increased interest in the development of kernel methods for learning with sequential data. The signature kernel is a learning tool with potential to handle irregularly sampled, multivariate time series. In "Kernels for sequentially ordered data" the authors introduced a kernel trick for the truncated version of this kernel avoiding the exponential complexity that would have been involved in a direct computation. Here we show that for continuously differentiable paths, the signature kernel solves a hyperbolic PDE and recognize the connection with a well known class of differential equations known in the literature as Goursat problems. This Goursat PDE only depends on the increments of the input sequences, does not require the explicit computation of signatures and can be solved efficiently using state-of-the-arthyperbolic PDE numerical solvers, giving a kernel trick for the untruncated signature kernel, with the same raw complexity as the method from "Kernels for sequentially ordered data", but with the advantage that the PDE numerical scheme is well suited for GPU parallelization, which effectively reduces the complexity by a full order of magnitude in the length of the input sequences. In addition, we extend the previous analysis to the space of geometric rough paths and establish, using classical results from rough path theory, that the rough version of the signature kernel solves a rough integral equation analogous to the aforementioned Goursat PDE. Finally, we empirically demonstrate the effectiveness of our PDE kernel as a machine learning tool in various machine learning applications dealing with sequential data. We release the library sigkernel publicly available at https://github.com/crispitagorico/sigkernel.
• Abstract（参考訳）: 近年,逐次データを用いた学習のためのカーネル手法の開発への関心が高まっている。 シグネチャカーネルは、不規則にサンプリングされた多変量時系列を扱う可能性のある学習ツールである。 逐次順序データのためのカーネル"の中で、著者らは、直接計算にかかわる指数的複雑性を避けるために、このカーネルの縮小バージョンのためのカーネルトリックを導入した。 ここでは、連続的な微分可能パスに対して、シグネチャカーネルは双曲型PDEを解き、文献でよく知られた微分方程式のクラスとの接続をグールサット問題として認識する。 This Goursat PDE only depends on the increments of the input sequences, does not require the explicit computation of signatures and can be solved efficiently using state-of-the-arthyperbolic PDE numerical solvers, giving a kernel trick for the untruncated signature kernel, with the same raw complexity as the method from "Kernels for sequentially ordered data", but with the advantage that the PDE numerical scheme is well suited for GPU parallelization, which effectively reduces the complexity by a full order of magnitude in the length of the input sequences. さらに、従来の解析を幾何学的粗路空間に拡張し、粗路理論の古典的な結果を用いて、シグネチャカーネルの粗版が上記のグールサットPDEに類似した粗積分方程式を解くことを確立する。 最後に、シーケンシャルデータを扱う機械学習アプリケーションにおいて、機械学習ツールとしてのPDEカーネルの有効性を実証的に示す。 sigkernelライブラリをhttps://github.com/crispitagorico/sigkernelで公開しています。

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