論文の概要: Numerical Schemes for Signature Kernels

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.08470v1
• Date: Wed, 12 Feb 2025 15:04:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-13 13:44:28.645403
• Title: Numerical Schemes for Signature Kernels
• Title（参考訳）: 署名カーネルの数値スキーム
• Authors: Thomas Cass, Francesco Piatti, Jeffrey Pei,
• Abstract要約: 署名カーネルは、シーケンシャルデータのためのカーネルメソッドの強力なツールとして登場した。 近似法と境界法のいずれかを用いて境界条件の表現を利用する2つの高度な数値スキームを導入する。 我々のアルゴリズムはGPU並列化が可能であり、入力シーケンスの長さの2次から線形への計算複雑性を低減できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5461938536945723
• License:
• Abstract: Signature kernels have emerged as a powerful tool within kernel methods for sequential data. In the paper "The Signature Kernel is the solution of a Goursat PDE", the authors identify a kernel trick that demonstrates that, for continuously differentiable paths, the signature kernel satisfies a Goursat problem for a hyperbolic partial differential equation (PDE) in two independent time variables. While finite difference methods have been explored for this PDE, they face limitations in accuracy and stability when handling highly oscillatory inputs. In this work, we introduce two advanced numerical schemes that leverage polynomial representations of boundary conditions through either approximation or interpolation techniques, and rigorously establish the theoretical convergence of the polynomial approximation scheme. Experimental evaluations reveal that our approaches yield improvements of several orders of magnitude in mean absolute percentage error (MAPE) compared to traditional finite difference schemes, without increasing computational complexity. Furthermore, like finite difference methods, our algorithms can be GPU-parallelized to reduce computational complexity from quadratic to linear in the length of the input sequences, thereby improving scalability for high-frequency data. We have implemented these algorithms in a dedicated Python library, which is publicly available at: https://github.com/FrancescoPiatti/polysigkernel.
• Abstract（参考訳）: 署名カーネルは、シーケンシャルデータのためのカーネルメソッドの強力なツールとして登場した。 著者らは論文 "The Signature Kernel is the solution of a Goursat PDE" の中で、連続的な微分可能なパスに対して、2つの独立時間変数における双曲偏微分方程式 (PDE) に対して、シグネチャカーネルがグールサット問題を満たすことを示すカーネルのトリックを特定した。 このPDEに対して有限差分法が検討されているが、高振動入力を扱う場合、精度と安定性の限界に直面している。 本研究では,近似あるいは補間手法を用いて境界条件の多項式表現を利用する2つの高度な数値スキームを導入し,多項式近似の理論的収束を厳密に確立する。 実験により,計算複雑性を増大させることなく,平均絶対パーセンテージ誤差(MAPE)が従来の有限差分スキームに比べて数桁改善されることが判明した。 さらに, 有限差分法と同様に, アルゴリズムをGPU並列化することにより, 入力列の長さの2次から線形への計算複雑性を低減し, 高周波データのスケーラビリティを向上させる。 これらのアルゴリズムを専用のPythonライブラリで実装し、https://github.com/FrancescoPiatti/polysigkernel.comで公開しています。

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