論文の概要: A High Order Solver for Signature Kernels

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.02926v1
• Date: Mon, 1 Apr 2024 23:09:52 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-05 19:04:16.726448
• Title: A High Order Solver for Signature Kernels
• Title（参考訳）: 信号カーネルの高次解法
• Authors: Maud Lemercier, Terry Lyons,
• Abstract要約: 署名カーネルは、時系列を分析するための機械学習アルゴリズムの中核にある。 本稿では,シグネチャカーネルの数値近似のための新しいアルゴリズムを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.899263357689845
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Signature kernels are at the core of several machine learning algorithms for analysing multivariate time series. The kernel of two bounded variation paths (such as piecewise linear interpolations of time series data) is typically computed by solving a Goursat problem for a hyperbolic partial differential equation (PDE) in two independent time variables. However, this approach becomes considerably less practical for highly oscillatory input paths, as they have to be resolved at a fine enough scale to accurately recover their signature kernel, resulting in significant time and memory complexities. To mitigate this issue, we first show that the signature kernel of a broader class of paths, known as \emph{smooth rough paths}, also satisfies a PDE, albeit in the form of a system of coupled equations. We then use this result to introduce new algorithms for the numerical approximation of signature kernels. As bounded variation paths (and more generally geometric $p$-rough paths) can be approximated by piecewise smooth rough paths, one can replace the PDE with rapidly varying coefficients in the original Goursat problem by an explicit system of coupled equations with piecewise constant coefficients derived from the first few iterated integrals of the original input paths. While this approach requires solving more equations, they do not require looking back at the complex and fine structure of the initial paths, which significantly reduces the computational complexity associated with the analysis of highly oscillatory time series.
• Abstract（参考訳）: 署名カーネルは、多変量時系列を分析するための機械学習アルゴリズムの中核にある。 2つの有界変動パスの核(例えば時系列データの分数次線形補間)は、2つの独立時間変数における双曲偏微分方程式(PDE)のグールサット問題を解くことで計算される。 しかし、この手法は、署名カーネルを正確に回復するのに十分なスケールで解決する必要があるため、高振動の入力パスに対してかなり実用的ではないため、時間とメモリの複雑さが著しく低下する。 この問題を緩和するために、まず、より広い経路のクラスである「emph{smooth rough paths」のシグネチャカーネルが、結合方程式の系という形で PDE を満たすことを示す。 次に、この結果を用いて、シグネチャカーネルの数値近似のための新しいアルゴリズムを導入する。 有界変動経路(およびより一般には$p$-rough 経路)は、一回りの滑らかな粗な経路によって近似できるので、PDE は元のグールサット問題において、元の入力経路の最初の数個の反復積分から導かれる一回りの定数係数を持つ結合方程式の明示的な系によって、急速に変化する係数で置き換えることができる。 このアプローチでは、より多くの方程式を解く必要があるが、初期経路の複雑で微細な構造を振り返る必要はない。

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