論文の概要: On estimating the trace of quantum state powers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.13559v1
• Date: Thu, 17 Oct 2024 13:57:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-18 13:18:02.369966
• Title: On estimating the trace of quantum state powers
• Title（参考訳）: 量子状態パワーのトレース推定について
• Authors: Yupan Liu, Qisheng Wang,
• Abstract要約: 量子状態のトレースを推定する計算複雑性を、$n$-qubit混合量子状態$rho$に対して$texttr(rhoq)$で調べる。 我々の高速化は、正のパワー関数の計算可能な一様近似を量子特異値変換に効率よく導入することで達成される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.637436382971936
• License:
• Abstract: We investigate the computational complexity of estimating the trace of quantum state powers $\text{tr}(\rho^q)$ for an $n$-qubit mixed quantum state $\rho$, given its state-preparation circuit of size $\text{poly}(n)$. This quantity is closely related to and often interchangeable with the Tsallis entropy $\text{S}_q(\rho) = \frac{1-\text{tr}(\rho^q)}{q-1}$, where $q = 1$ corresponds to the von Neumann entropy. For any non-integer $q \geq 1 + \Omega(1)$, we provide a quantum estimator for $\text{S}_q(\rho)$ with time complexity $\text{poly}(n)$, exponentially improving the prior best results of $\exp(n)$ due to Acharya, Issa, Shende, and Wagner (ISIT 2019), Wang, Guan, Liu, Zhang, and Ying (TIT 2024), and Wang, Zhang, and Li (TIT 2024), and Wang and Zhang (ESA 2024). Our speedup is achieved by introducing efficiently computable uniform approximations of positive power functions into quantum singular value transformation. Our quantum algorithm reveals a sharp phase transition between the case of $q=1$ and constant $q>1$ in the computational complexity of the Quantum $q$-Tsallis Entropy Difference Problem (TsallisQED$_q$), particularly deciding whether the difference $\text{S}_q(\rho_0) - \text{S}_q(\rho_1)$ is at least $0.001$ or at most $-0.001$: - For any $1+\Omega(1) \leq q \leq 2$, TsallisQED$_q$ is $\mathsf{BQP}$-complete, which implies that Purity Estimation is also $\mathsf{BQP}$-complete. - For any $1 \leq q \leq 1 + \frac{1}{n-1}$, TsallisQED$_q$ is $\mathsf{QSZK}$-hard, leading to hardness of approximating von Neumann entropy because $\text{S}_q(\rho) \leq \text{S}(\rho)$, as long as $\mathsf{BQP} \subsetneq \mathsf{QSZK}$. The hardness results are derived from reductions based on new inequalities for the quantum $q$-Jensen-(Shannon-)Tsallis divergence with $1\leq q \leq 2$, which are of independent interest.
• Abstract（参考訳）: 量子状態のトレースを推定する計算複雑性を$\text{tr}(\rho^q)$ for a $n$-qubit mixed quantum state $\rho$, given its state-preparation circuit of size $\text{poly}(n)$とする。 この量は、Tsallis entropy $\text{S}_q(\rho) = \frac{1-\text{tr}(\rho^q)}{q-1}$と密接に関連しており、しばしば交換可能である。 任意の非整数 $q \geq 1 + \Omega(1)$ に対して、時間複雑性を持つ $\text{S}_q(\rho)$ に対して、Acharya, Issa, Shende, and Wagner (ISIT 2019), Wang, Guan, Liu, Zhang, and Ying (TIT 2024), Wang, Zhang, and Li (TIT 2024), Wang and Zhang (ESA 2024), Wang and Zhang (ESA 2024), に対する量子推定器を提供する。 我々の高速化は、正のパワー関数の計算可能な一様近似を量子特異値変換に効率よく導入することで達成される。 我々の量子アルゴリズムは、$q=1$と定数$q>1$の計算複雑性における急激な位相遷移を明らかにし、特に$\text{S}_q(\rho_0) - \text{S}_q(\rho_1)$が少なくとも$0.001$であるか、または少なくとも$-0.001$であるかを決定する。 -- 任意の$ \leq q \leq 1 + \frac{1}{n-1}$に対して、TsallisQED$_q$ is $\mathsf{QSZK}$-hard は、フォン・ノイマンのエントロピーの近似の難しさを招き、$\text{S}_q(\rho) \leq \text{S}(\rho)$ は$\mathsf{BQP} \subsetneq \mathsf{QSZK}$ である。 硬度の結果は、量子$q$-Jensen-(Shannon-)Tsallis分散に対する新しい不等式に基づく1\leq q \leq 2$の減少から導かれる。

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