論文の概要: Singular Sturm-Liouville Problems with Zero Potential (q=0) and Singular
Slow Feature Analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.04765v1
- Date: Mon, 9 Nov 2020 21:09:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-28 00:41:50.921320
- Title: Singular Sturm-Liouville Problems with Zero Potential (q=0) and Singular
Slow Feature Analysis
- Title（参考訳）: ゼロポテンシャル (q=0) を持つ特異ストーム・リウヴィル問題と特異スロー特徴解析
- Authors: Stefan Richthofer, Laurenz Wiskott
- Abstract要約: この研究は、データ処理アルゴリズムであるSlow Feature Analysis (SFA)によって動機付けられている。
重要なシナリオのクラス(統計的に独立な入力)に対して、SFAの解析的定式化はゼロポテンシャルを持つストゥルム・リウヴィル問題に還元されることが知られている。
この研究は SFA 理論を特異な場合、すなわち開空間のシナリオに一般化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A Sturm-Liouville problem ($\lambda wy=(ry')'+qy$) is singular if its domain
is unbounded or if $r$ or $w$ vanish at the boundary. Then it is difficult to
tell whether profound results from regular Sturm-Liouville theory apply.
Existing criteria are often difficult to apply, e.g. because they are
formulated in terms of the solution function.
We study the special case that the potential $q$ is zero under Neumann
boundary conditions and give simple and explicit criteria, solely in terms of
the coefficient functions, to assess whether various properties of the regular
case apply. Specifically, these properties are discreteness of the spectrum
(BD), self-adjointness, oscillation ($i$th solution has $i$ zeros) and that the
$i$th eigenvalue equals the SFA delta value (the total energy) of the $i$th
solution. We further prove that stationary points of each solution strictly
interlace with its zeros (in singular or regular case, regardless of the
boundary condition, for zero potential or if $q < \lambda w$ everywhere). If
$\frac{r}{w}$ is bounded and of bounded variation, the criterion simplifies to
requiring $\frac{|w'|}{w} \to \infty$ at singular boundary points.
This research is motivated by Slow Feature Analysis (SFA), a data processing
algorithm that extracts the slowest uncorrelated signals from a
high-dimensional input signal and has notable success in computer vision,
computational neuroscience and blind source separation. From [Sprekeler et al.,
2014] it is known that for an important class of scenarios (statistically
independent input), an analytic formulation of SFA reduces to a Sturm-Liouville
problem with zero potential and Neumann boundary conditions. So far, the
mathematical SFA theory has only considered the regular case, except for a
special case that is solved by Hermite Polynomials. This work generalizes SFA
theory to the singular case, i.e. open-space scenarios.
- Abstract（参考訳）: Sturm-Liouville 問題 ("\lambda wy=(ry')'+qy$) は、その領域が非有界であるか、境界で $r$ または $w$ が消えるとき特異である。
すると、正規ストゥルム・リウヴィル理論の深い結果が当てはまるかどうかを判断することは困難である。
既存の基準は、例えば解関数の項で定式化されているため、適用が難しいことが多い。
ニューマン境界条件下では、ポテンシャル q$ が 0 であり、係数関数のみを用いて単純かつ明示的な基準を与え、正規の場合の様々な性質が適用できるかどうかを評価する特別な場合について検討する。
具体的には、これらの性質はスペクトル(BD)の離散性、自己随伴性、発振(i$thの解は0)、およびi$thの固有値はi$thの解のSFAデルタ値(総エネルギー)と等しい。
さらに、各解の定常点がその零点と厳密に交わる(境界条件によらず特異あるいは正則の場合、ゼロポテンシャルに対して、あるいは$q < \lambda w$ が至る所にある場合)。
もし$\frac{r}{w}$ が有界で有界な変動であれば、この基準は特異な境界点で$\frac{|w'|}{w} \to \infty$ を必要とする。
この研究は、高次元入力信号から最も遅い非相関信号を抽出するデータ処理アルゴリズムであるslow feature analysis(sfa)に動機づけられ、コンピュータビジョン、計算神経科学、ブラインドソース分離において顕著な成功を収めている。
SFAの解析的定式化は、[Sprekeler et al., 2014] から重要なシナリオ(統計的に独立な入力)のクラスにおいて、ゼロポテンシャルとノイマン境界条件を持つSturm-Liouville問題に還元されることが知られている。
これまでのところ、数学SFA理論は、エルミート多項式によって解かれる特別なケースを除いて、通常のケースのみを考慮してきた。
この研究は SFA 理論を特異ケース、すなわち開空間シナリオに一般化する。
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