論文の概要: Linear Classifiers in Mixed Constant Curvature Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.10204v1
• Date: Fri, 19 Feb 2021 23:29:03 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-02-23 15:16:31.771525
• Title: Linear Classifiers in Mixed Constant Curvature Spaces
• Title（参考訳）: 混合定数曲率空間における線形分類器
• Authors: Puoya Tabaghi, Eli Chien, Chao Pan, Olgica Milenkovi\'c
• Abstract要約: 我々は、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間の混合である積空間形式の線形分類の問題に対処する。 我々は、$d$-次元定数曲率空間の線形分類子が正確に$d+1$点を粉砕できることを証明した。 新規なパーセプトロン分類アルゴリズムを記述し、厳密な収束結果を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 40.82908295137667
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Embedding methods for mixed-curvature spaces are powerful techniques for low-distortion and low-dimensional representation of complex data structures. Nevertheless, little is known regarding downstream learning and optimization in the embedding space. Here, we address for the first time the problem of linear classification in a product space form -- a mix of Euclidean, spherical, and hyperbolic spaces with different dimensions. First, we revisit the definition of a linear classifier on a Riemannian manifold by using geodesics and Riemannian metrics which generalize the notions of straight lines and inner products in vector spaces, respectively. Second, we prove that linear classifiers in $d$-dimensional constant curvature spaces can shatter exactly $d+1$ points: Hence, Euclidean, hyperbolic and spherical classifiers have the same expressive power. Third, we formalize linear classifiers in product space forms, describe a novel perceptron classification algorithm, and establish rigorous convergence results. We support our theoretical findings with simulation results on several datasets, including synthetic data, MNIST and Omniglot. Our results reveal that learning methods applied to small-dimensional embeddings in product space forms significantly outperform their algorithmic counterparts in Euclidean spaces.
• Abstract（参考訳）: 混合曲率空間の埋め込み法は、複雑なデータ構造の低歪みおよび低次元表現のための強力な技術である。 それでも、下流の学習と埋め込み空間の最適化についてはほとんど知られていない。 ここでは、積空間形式における線型分類の問題 -- 異なる次元のユークリッド空間、球面空間、双曲空間の混合 -- を初めて扱う。 まず、ベクトル空間における直線と内積の概念をそれぞれ一般化する測地線とリーマン計量を用いて、リーマン多様体上の線型分類器の定義を再検討する。 第二に、$d$-次元定数曲率空間の線形分類子が正確に$d+1$点を分解できることを証明している:したがって、ユークリッド、双曲および球状分類子は同じ表現力を有する。 第三に、製品空間形式の線形分類器を形式化し、新しいパーセプトロン分類アルゴリズムを記述し、厳密な収束結果を確立する。 合成データ、MNIST、Omniglotなど、いくつかのデータセットのシミュレーション結果で理論的発見をサポートします。 その結果, 製品空間における微小次元埋め込みに応用した学習手法はユークリッド空間におけるアルゴリズム的手法よりも著しく優れていることがわかった。

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