論文の概要: Fiberwise dimensionality reduction of topologically complex data with vector bundles

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2206.06513v1
• Date: Mon, 13 Jun 2022 22:53:46 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-06-15 14:07:36.128305
• Title: Fiberwise dimensionality reduction of topologically complex data with vector bundles
• Title（参考訳）: ベクトル束をもつ位相複素データのファイバー次元還元
• Authors: Luis Scoccola and Jose A. Perea
• Abstract要約: 本稿では,ベクトルバンドルを用いてトポロジ的に複雑なデータセットをモデル化する。 基底空間は大規模位相であり、ファイバーは局所幾何学である。 これにより、大規模なトポロジーを保ちながら繊維の寸法を小さくすることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Datasets with non-trivial large scale topology can be hard to embed in low-dimensional Euclidean space with existing dimensionality reduction algorithms. We propose to model topologically complex datasets using vector bundles, in such a way that the base space accounts for the large scale topology, while the fibers account for the local geometry. This allows one to reduce the dimensionality of the fibers, while preserving the large scale topology. We formalize this point of view, and, as an application, we describe an algorithm which takes as input a dataset together with an initial representation of it in Euclidean space, assumed to recover part of its large scale topology, and outputs a new representation that integrates local representations, obtained through local linear dimensionality reduction, along the initial global representation. We demonstrate this algorithm on examples coming from dynamical systems and chemistry. In these examples, our algorithm is able to learn topologically faithful embeddings of the data in lower target dimension than various well known metric-based dimensionality reduction algorithms.
• Abstract（参考訳）: 非自明な大規模トポロジーを持つデータセットは、既存の次元還元アルゴリズムで低次元ユークリッド空間に埋め込むのは難しい。 本稿では,基本空間が大規模トポロジーを,ファイバーが局所幾何学を考慮しながら,ベクトル束を用いて位相的に複雑なデータセットをモデル化することを提案する。 これにより、大規模なトポロジーを保ちながら繊維の寸法を小さくすることができる。 我々はこの視点を定式化し、応用としてユークリッド空間の初期表現とともにデータセットを入力として、その大規模トポロジの一部を復元すると仮定したアルゴリズムを記述し、初期大域表現に沿って、局所的な線形次元の減少を通じて得られる局所表現を統合する新しい表現を出力する。 このアルゴリズムは、力学系と化学の例を示す。 これらの例において、本アルゴリズムは、様々な既知のメトリックベース次元低減アルゴリズムよりも低い目標次元におけるデータの位相的に忠実な埋め込みを学習することができる。

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