論文の概要: Manifold learning with arbitrary norms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.14172v1
• Date: Mon, 28 Dec 2020 10:24:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-04-19 11:11:21.227478
• Title: Manifold learning with arbitrary norms
• Title（参考訳）: 任意の規範によるマニフォールド学習
• Authors: Joe Kileel, Amit Moscovich, Nathan Zelesko, Amit Singer
• Abstract要約: 本研究では,アースモーバー距離に基づく多様体学習が,分子形状空間を学習する標準的なユークリッド変種よりも優れていることを示す。 数値シミュレーションにより,アースモーバー距離に基づく多様体学習は,分子形状空間を学習するための標準ユークリッド変種よりも優れていることを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.433233101044197
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Manifold learning methods play a prominent role in nonlinear dimensionality reduction and other tasks involving high-dimensional data sets with low intrinsic dimensionality. Many of these methods are graph-based: they associate a vertex with each data point and a weighted edge between each pair of close points. Existing theory shows, under certain conditions, that the Laplacian matrix of the constructed graph converges to the Laplace-Beltrami operator of the data manifold. However, this result assumes the Euclidean norm is used for measuring distances. In this paper, we determine the limiting differential operator for graph Laplacians constructed using $\textit{any}$ norm. The proof involves a subtle interplay between the second fundamental form of the underlying manifold and the convex geometry of the norm's unit ball. To motivate the use of non-Euclidean norms, we show in a numerical simulation that manifold learning based on Earthmover's distances outperforms the standard Euclidean variant for learning molecular shape spaces, in terms of both sample complexity and computational complexity.
• Abstract（参考訳）: マニフォールド学習法は, 非線形次元減少や, 内在次元の低い高次元データセットを含むタスクにおいて, 顕著な役割を担っている。 これらの手法の多くはグラフベースであり、頂点を各データポイントと各閉点間の重み付きエッジに関連付ける。 既存の理論は、ある条件下で、構築されたグラフのラプラシアン行列がデータ多様体のラプラス・ベルトラミ作用素に収束することを示している。 しかし、この結果はユークリッドノルムが距離を測定するために使われると仮定する。 本稿では、$\textit{any}$ norm を用いて構築したグラフラプラシアンに対する制限微分作用素を決定する。 この証明は、基礎多様体の第2基本形式とノルムの単位球の凸幾何学の間の微妙な相互作用を含む。 非ユークリッドノルムの使用を動機づけるために、アースモーバー距離に基づく多様体学習は、サンプル複雑性と計算複雑性の両方の観点から、分子形状空間を学習するための標準ユークリッド変量より優れていることを示す数値シミュレーションで示す。

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