論文の概要: Learning the optimal regularizer for inverse problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.06513v1
- Date: Fri, 11 Jun 2021 17:14:27 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-06-14 14:22:59.439838
- Title: Learning the optimal regularizer for inverse problems
- Title（参考訳）: 逆問題に対する最適正則化器の学習
- Authors: Giovanni S. Alberti, Ernesto De Vito, Matti Lassas, Luca Ratti, Matteo
Santacesaria
- Abstract要約: 線形逆問題 $y=Ax+epsilon$ を考えると、$Acolon Xto Y$ は分離可能なヒルベルト空間 $X$ と $Y$ の間の既知の線型作用素である。
この設定は、デノイング、デブロアリング、X線トモグラフィーなど、画像のいくつかの逆問題を含んでいる。
古典的な正規化の枠組みの中では、正規化関数が優先順位を与えられず、データから学習される場合に焦点を当てる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.763934678295407
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this work, we consider the linear inverse problem $y=Ax+\epsilon$, where
$A\colon X\to Y$ is a known linear operator between the separable Hilbert
spaces $X$ and $Y$, $x$ is a random variable in $X$ and $\epsilon$ is a
zero-mean random process in $Y$. This setting covers several inverse problems
in imaging including denoising, deblurring, and X-ray tomography. Within the
classical framework of regularization, we focus on the case where the
regularization functional is not given a priori but learned from data. Our
first result is a characterization of the optimal generalized Tikhonov
regularizer, with respect to the mean squared error. We find that it is
completely independent of the forward operator $A$ and depends only on the mean
and covariance of $x$. Then, we consider the problem of learning the
regularizer from a finite training set in two different frameworks: one
supervised, based on samples of both $x$ and $y$, and one unsupervised, based
only on samples of $x$. In both cases, we prove generalization bounds, under
some weak assumptions on the distribution of $x$ and $\epsilon$, including the
case of sub-Gaussian variables. Our bounds hold in infinite-dimensional spaces,
thereby showing that finer and finer discretizations do not make this learning
problem harder. The results are validated through numerical simulations.
- Abstract（参考訳）: この場合、線型逆問題 $y=Ax+\epsilon$ を考えると、$A\colon X\to Y$ は分離可能なヒルベルト空間 $X$ と $Y$ の間の既知の線型作用素であり、$x$ は$X$ のランダム変数であり、$\epsilon$ は$Y$ のゼロ平均ランダムプロセスである。
この設定は、デノイング、デブロアリング、X線トモグラフィなどの画像の逆問題を含む。
正規化の古典的な枠組みでは、正規化汎関数が前もって与えられず、データから学習される場合に焦点を当てる。
最初の結果は、平均二乗誤差に関して最適一般化されたチホノフ正則化器の特性である。
前方演算子 $a$ とは完全に独立であり、x$ の平均と共分散のみに依存する。
そこで,本研究では,x$とy$の両方のサンプルをベースとした教師なしと,x$のサンプルのみに基づく教師なしという,2つの異なるフレームワークの有限トレーニングセットから正規化子を学習する問題を考察する。
どちらの場合も、x$ と $\epsilon$ の分布に関する弱い仮定の下で、部分ガウス変数の場合を含む一般化境界を証明する。
我々の境界は無限次元空間に保たれ、より細かい離散化は学習問題を難しくしないことを示す。
結果は数値シミュレーションによって検証される。
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