論文の概要: Power-like potentials: from the Bohr-Sommerfeld energies to exact ones

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.00327v2
• Date: Tue, 17 Aug 2021 01:49:12 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-20 07:04:08.928815
• Title: Power-like potentials: from the Bohr-Sommerfeld energies to exact ones
• Title（参考訳）: パワー様ポテンシャル:ボーア・ソマーフェルトエネルギーから正確なポテンシャルへ
• Authors: J.C. del Valle, Alexander V. Turbiner
• Abstract要約: ボーア・ソマーフェルド量子化条件から明示的に抽出されたボーア・ソマーフェルドエネルギー(BSE)と正確なエネルギーを比較する。 物理的に重要な場合、$m=1,4,6$ for the 100$th excited state BSE and exactly one in 5-6 figures。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 77.34726150561087
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: For one-dimensional power-like potentials $|x|^m, m > 0$ the Bohr-Sommerfeld Energies (BSE) extracted explicitly from the Bohr-Sommerfeld quantization condition are compared with the exact energies. It is shown that for the ground state as well as for all positive parity states the BSE are always above the exact ones contrary to the negative parity states where BSE remain above the exact ones for $m>2$ but they are below them for $m < 2$. The ground state BSE as the function of $m$ are of the same order of magnitude as the exact energies for linear $(m=1)$, quartic $(m=4)$ and sextic $(m=6)$ oscillators but relative deviation grows with $m$ reaching the value 4 at $m=\infty$. For physically important cases $m=1,4,6$ for the $100$th excited state BSE coincide with exact ones in 5-6 figures. It is demonstrated that modifying the right-hand-side of the Bohr-Sommerfeld quantization condition by introducing the so-called {\it WKB correction} $\gamma$ (coming from the sum of higher order WKB terms taken at the exact energies) to the so-called exact WKB condition one can reproduce the exact energies. It is shown that the WKB correction is small, bounded function $|\gamma| < 1/2$ for all $m \geq 1$, it is slow growing with increase in $m$ for fixed quantum number, while it decays with quantum number growth at fixed $m$. For the first time for quartic and sextic oscillators the WKB correction and energy spectra (and eigenfunctions) are written explicitly in closed analytic form with high relative accuracy $10^{-9 \ -11}$ (and $10^{-6}$).
• Abstract（参考訳）: 一次元のパワーライクなポテンシャル $|x|^m, m > 0$ Bohr-Sommerfeld Energies (BSE) はボーア-Sommerfeld量子化条件から明示的に抽出される。 基底状態と全ての正のパリティ状態については、BSEは常に正のパリティ状態よりも高く、BSEは正のパリティ状態よりも$m>2$の方が高いが、その下は$m < 2$である。 m$ の関数としての基底状態 BSE は、線形 $(m=1)$, quartic $(m=4)$ および sextic $(m=6)$ 発振器の正確なエネルギーのオーダーと同じであるが、相対偏差は、$m$ が $m=\infty$ で 4 に達することで増加する。 物理的に重要な場合には、100ドルの励起状態bseに対して$m=1,4,6$が、正確な数値は5-6である。 いわゆる "it wkb correction} $\gamma$ (正確なエネルギーで取られる高階の wkb 項の和から来る) を、いわゆる正確な wkb 条件に導入することにより、ボーア・ソマーフェルト量子化条件の右辺の修正が、正確なエネルギーを再現できることが示されている。 wkb補正は小さく、有界関数 $|\gamma| < 1/2$ は全ての$m \geq 1$ に対し、固定された量子数に対して$m$ の増加とともに成長が遅く、量子数は固定 $m$ で減少する。 定性的および性的な振動子に対して初めて、WKB補正とエネルギースペクトル(および固有関数)は、高い相対的精度10^{-9 \ -11}$(および10^{-6}$)の閉解析形式で明示的に記述される。

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