論文の概要: Exponential Convergence of Deep Operator Networks for Elliptic Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.08125v1
• Date: Wed, 15 Dec 2021 13:56:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-12-16 17:19:49.376717
• Title: Exponential Convergence of Deep Operator Networks for Elliptic Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 楕円偏微分方程式に対する深部演算子の指数収束
• Authors: Carlo Marcati and Christoph Schwab
• Abstract要約: 楕円型二階PDEの係数対解写像の指数収束率でエミュレートする無限次元空間間の深い作用素ネットワーク(ONets)を構築する。 特に、$d$次元周期領域、$d=1, 2, dots$、分析右辺と係数に設定された問題を考える。 我々はONetのニューラルネットワークのサイズが$mathcalO(left|log(varepsilon)right|kappa)$であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: We construct deep operator networks (ONets) between infinite-dimensional spaces that emulate with an exponential rate of convergence the coefficient-to-solution map of elliptic second-order PDEs. In particular, we consider problems set in $d$-dimensional periodic domains, $d=1, 2, \dots$, and with analytic right-hand sides and coefficients. Our analysis covers diffusion-reaction problems, parametric diffusion equations, and elliptic systems such as linear isotropic elastostatics in heterogeneous materials. We leverage the exponential convergence of spectral collocation methods for boundary value problems whose solutions are analytic. In the present periodic and analytic setting, this follows from classical elliptic regularity. Within the ONet branch and trunk construction of [Chen and Chen, 1993] and of [Lu et al., 2021], we show the existence of deep ONets which emulate the coefficient-to-solution map to accuracy $\varepsilon>0$ in the $H^1$ norm, uniformly over the coefficient set. We prove that the neural networks in the ONet have size $\mathcal{O}(\left|\log(\varepsilon)\right|^\kappa)$ for some $\kappa>0$ depending on the physical space dimension.
• Abstract（参考訳）: 楕円型二階PDEの係数対解写像の指数収束率でエミュレートする無限次元空間間の深い作用素ネットワーク(ONets)を構築する。 特に、d$-dimensional periodic domain, $d=1, 2, \dots$, and with analytic right-hand side and coefficients に設定された問題を考える。 異種材料における拡散反応問題,パラメトリック拡散方程式,線形等方性エラストスタシスなどの楕円系について検討した。 解析的解を持つ境界値問題に対してスペクトルコロケーション法の指数収束を利用する。 現在の周期的および解析的設定では、これは古典楕円正則性から従う。 ONetブランチと[Chen and Chen, 1993] および [Lu et al., 2021] のトランク構成では、係数対解写像を正確に$H^1$ノルムで$\varepsilon>0$にエミュレートするディープオネットの存在を示す。 我々は、onet内のニューラルネットワークが、物理空間次元に応じて$\kappa>0$のいくつかの値に対して$\mathcal{o}(\left|\log(\varepsilon)\right|^\kappa)$を持つことを証明する。

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