論文の概要: A Priori Generalization Analysis of the Deep Ritz Method for Solving
High Dimensional Elliptic Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.01708v2
- Date: Mon, 22 Mar 2021 14:58:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-04-11 11:39:00.075653
- Title: A Priori Generalization Analysis of the Deep Ritz Method for Solving
High Dimensional Elliptic Equations
- Title（参考訳）: 高次元楕円方程式の解法におけるディープリッツ法の事前一般化解析
- Authors: Jianfeng Lu, Yulong Lu, Min Wang
- Abstract要約: Deep Ritz Method (DRM) の枠組みにおける2層ニューラルネットワークの一般化誤差境界を導出する。
一般化誤差の収束率は次元 $d$ から独立であることが証明される。
我々はスペクトルバロン空間上のPDEに対する新しい解理論を開発する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.974322921837384
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper concerns the a priori generalization analysis of the Deep Ritz
Method (DRM) [W. E and B. Yu, 2017], a popular neural-network-based method for
solving high dimensional partial differential equations. We derive the
generalization error bounds of two-layer neural networks in the framework of
the DRM for solving two prototype elliptic PDEs: Poisson equation and static
Schr\"odinger equation on the $d$-dimensional unit hypercube. Specifically, we
prove that the convergence rates of generalization errors are independent of
the dimension $d$, under the a priori assumption that the exact solutions of
the PDEs lie in a suitable low-complexity space called spectral Barron space.
Moreover, we give sufficient conditions on the forcing term and the potential
function which guarantee that the solutions are spectral Barron functions. We
achieve this by developing a new solution theory for the PDEs on the spectral
Barron space, which can be viewed as an analog of the classical Sobolev
regularity theory for PDEs.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元偏微分方程式を解くニューラルネットワークベースの手法として,Deep Ritz Method (DRM) [W. E and B. Yu, 2017] の事前一般化解析について述べる。
我々は,drmの枠組みにおける2層ニューラルネットワークの一般化誤差境界を導出し,poisson方程式と静的schr\"odinger方程式の2つのプロトタイプ楕円型pdesをd$-dimensional unit hypercube上で解く。
具体的には、pdes の厳密解がスペクトルバロン空間と呼ばれる適切な低複素空間にあるという事前仮定の下で、一般化誤差の収束率は次元 $d$ から独立であることが証明される。
さらに、解がスペクトルバロン関数であることを保証する強制項とポテンシャル関数について十分条件を与える。
我々は、スペクトルバロン空間上のPDEに対する新しい解論を開発し、PDEに対する古典的なソボレフ正則理論の類似と見なすことができる。
関連論文リスト
- Unisolver: PDE-Conditional Transformers Are Universal PDE Solvers [55.0876373185983]
広範にPDEを解くことができるUniversal PDEソルバ(Unisolver)を提案する。
私たちの重要な発見は、PDEソリューションが基本的に一連のPDEコンポーネントの制御下にあることです。
Unisolverは3つの挑戦的な大規模ベンチマークにおいて、一貫した最先端の結果を達成する。
論文 参考訳（メタデータ） (2024-05-27T15:34:35Z) - Learning with Norm Constrained, Over-parameterized, Two-layer Neural Networks [54.177130905659155]
近年の研究では、再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)がニューラルネットワークによる関数のモデル化に適した空間ではないことが示されている。
本稿では,有界ノルムを持つオーバーパラメータ化された2層ニューラルネットワークに適した関数空間について検討する。
論文 参考訳（メタデータ） (2024-04-29T15:04:07Z) - Approximation of Solution Operators for High-dimensional PDEs [2.3076986663832044]
進化的偏微分方程式の解演算子を近似する有限次元制御法を提案する。
結果は、ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を解くための実世界の応用を含む、いくつかの高次元PDEに対して提示される。
論文 参考訳（メタデータ） (2024-01-18T21:45:09Z) - Deep Equilibrium Based Neural Operators for Steady-State PDEs [100.88355782126098]
定常PDEに対する重み付けニューラルネットワークアーキテクチャの利点について検討する。
定常PDEの解を直接解くFNOアーキテクチャの深い平衡変種であるFNO-DEQを提案する。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-11-30T22:34:57Z) - Error Analysis of Kernel/GP Methods for Nonlinear and Parametric PDEs [16.089904161628258]
非線形およびおそらくパラメトリックなPDEの解に対する事前ソボレフ空間誤差推定を導入する。
この証明は、カーネル補間子に対するソボレフ標準誤差推定について記述する。
誤差推定は、PDEの解空間が十分に滑らかであれば、次元差収束率を示す。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-05-08T18:00:33Z) - Solving High-Dimensional PDEs with Latent Spectral Models [74.1011309005488]
我々は,高次元PDEの効率的かつ高精度な解法に向けて,Latent Spectral Models (LSM) を提案する。
数値解析において古典スペクトル法に着想を得て,潜時空間におけるPDEを解くために,ニューラルスペクトルブロックを設計する。
LSMは、一貫した最先端を実現し、7つのベンチマークで平均11.5%の相対的な利益を得る。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-01-30T04:58:40Z) - DiffNet: Neural Field Solutions of Parametric Partial Differential
Equations [30.80582606420882]
我々は、ニューラルネットワークをトレーニングし、PDEに対するソリューションのフィールド予測を生成するメッシュベースのアプローチを検討する。
パラメトリック楕円PDE上の有限要素法(FEM)に基づく重み付きガレルキン損失関数を用いる。
PDE に対する有限要素解に展開されたメッシュ収束解析に類似した,理論的に検証し,実験により考察する。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-10-04T17:59:18Z) - Mean-Square Analysis with An Application to Optimal Dimension Dependence
of Langevin Monte Carlo [60.785586069299356]
この研究は、2-ワッサーシュタイン距離におけるサンプリング誤差の非同相解析のための一般的な枠組みを提供する。
我々の理論解析は数値実験によってさらに検証される。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-09-08T18:00:05Z) - On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces [9.875204185976777]
本稿では、バロン空間における$d$次元2階楕円型PDEの解の複雑性推定を導出する。
複雑性推定の直接的な結果として、PDEの解は2層ニューラルネットワークによって任意の有界領域上で近似することができる。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-06-14T16:05:07Z) - Two-Layer Neural Networks for Partial Differential Equations:
Optimization and Generalization Theory [4.243322291023028]
勾配降下法は二階線形PDEを解くための最小二乗最適化の大域最小化器を同定できることを示す。
また,2階線形PDEと2層ニューラルネットワークの最小二乗最適化の一般化誤差を解析した。
論文 参考訳（メタデータ） (2020-06-28T22:24:51Z) - Convex Geometry and Duality of Over-parameterized Neural Networks [70.15611146583068]
有限幅2層ReLUネットワークの解析のための凸解析手法を開発した。
正規化学習問題に対する最適解が凸集合の極点として特徴づけられることを示す。
高次元では、トレーニング問題は無限に多くの制約を持つ有限次元凸問題としてキャストできることが示される。
論文 参考訳（メタデータ） (2020-02-25T23:05:33Z)
関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。
指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。