論文の概要: Adaptive neural domain refinement for solving time-dependent differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.12517v2
• Date: Thu, 1 Sep 2022 05:58:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-03 18:01:31.815514
• Title: Adaptive neural domain refinement for solving time-dependent differential equations
• Title（参考訳）: 時間依存微分方程式の解法に対する適応的ニューラルネットワーク領域の改良
• Authors: Toni Schneidereit and Michael Breu{\ss}
• Abstract要約: ニューラルネットワークを用いた微分方程式の古典的な解法は、解領域の離散化を伴う微分方程式を用いるニューラルネットワーク形式に基づいている。 このような重要かつ成功した戦略を、ニューラルネットワークベースのソリューションの分野に移行することが望ましい。 本稿では,時間依存問題の解決を目的とした新しい適応型ニューラルアプローチを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A classic approach for solving differential equations with neural networks builds upon neural forms, which employ the differential equation with a discretisation of the solution domain. Making use of neural forms for time-dependent differential equations, one can apply the recently developed method of domain fragmentation. That is, the domain may be split into several subdomains, on which the optimisation problem is solved. In classic adaptive numerical methods, the mesh as well as the domain may be refined or decomposed, respectively, in order to improve accuracy. Also the degree of approximation accuracy may be adapted. It would be desirable to transfer such important and successful strategies to the field of neural network based solutions. In the present work, we propose a novel adaptive neural approach to meet this aim for solving time-dependent problems. To this end, each subdomain is reduced in size until the optimisation is resolved up to a predefined training accuracy. In addition, while the neural networks employed are by default small, we propose a means to adjust also the number of neurons in an adaptive way. We introduce conditions to automatically confirm the solution reliability and optimise computational parameters whenever it is necessary. Results are provided for several initial value problems that illustrate important computational properties of the method alongside. In total, our approach not only allows to analyse in high detail the relation between network error and numerical accuracy. The new approach also allows reliable neural network solutions over large computational domains.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークで微分方程式を解く古典的なアプローチは、解領域の離散化を伴う微分方程式を用いるニューラルネットワークに基づいている。 時間依存微分方程式にニューラルフォームを用いることで、最近開発されたドメインフラグメンテーション法を適用できる。 すなわち、ドメインはいくつかのサブドメインに分割され、最適化問題が解決される。 古典的な適応的数値法では、メッシュと領域をそれぞれ洗練または分解して精度を向上させることができる。 また、近似精度の程度も適応できる。 このような重要かつ成功した戦略をニューラルネットワークベースのソリューションの分野に移行することが望ましい。 本研究では,時間依存問題の解決を目的とした適応型ニューラルアプローチを提案する。 これにより、最適化が予め定義されたトレーニング精度まで解決されるまで、各サブドメインのサイズを小さくする。 さらに、ニューラルネットワークはデフォルトでは小さいが、適応的な方法でニューロンの数を調整する手段を提案する。 解の信頼性を自動的に確認し,必要であれば計算パラメータを最適化するための条件を導入する。 その結果,本手法の重要な計算特性を示すいくつかの初期値問題が得られた。 提案手法は,ネットワークエラーと数値的精度の関係を詳細に解析するだけでなく,解析を行う。 新しいアプローチでは、大規模な計算領域における信頼性の高いニューラルネットワークソリューションも実現している。

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