論文の概要: On Manifold Hypothesis: Hypersurface Submanifold Embedding Using
Osculating Hyperspheres
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.01619v1
- Date: Thu, 3 Feb 2022 14:46:34 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-02-04 13:47:19.236409
- Title: On Manifold Hypothesis: Hypersurface Submanifold Embedding Using
Osculating Hyperspheres
- Title（参考訳）: マニフォールド仮説について:振動超球を用いた超曲面サブマニフォールド埋め込み
- Authors: Benyamin Ghojogh, Fakhri Karray, Mark Crowley
- Abstract要約: このデータセットは局所的に$(d-1)$-dimensionalの超曲面上に埋め込まれていることを示す。
本研究では, 埋設超曲面の幾何学的特性, 境界, トポロジー, 滑らか性, 境界性, オリエンタビリティ, コンパクト性, インジェクティビティについて論じる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.323996999894002
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Consider a set of $n$ data points in the Euclidean space $\mathbb{R}^d$. This
set is called dataset in machine learning and data science. Manifold hypothesis
states that the dataset lies on a low-dimensional submanifold with high
probability. All dimensionality reduction and manifold learning methods have
the assumption of manifold hypothesis. In this paper, we show that the dataset
lies on an embedded hypersurface submanifold which is locally
$(d-1)$-dimensional. Hence, we show that the manifold hypothesis holds at least
for the embedding dimensionality $d-1$. Using an induction in a pyramid
structure, we also extend the embedding dimensionality to lower embedding
dimensionalities to show the validity of manifold hypothesis for embedding
dimensionalities $\{1, 2, \dots, d-1\}$. For embedding the hypersurface, we
first construct the $d$ nearest neighbors graph for data. For every point, we
fit an osculating hypersphere $S^{d-1}$ using its neighbors where this
hypersphere is osculating to a hypothetical hypersurface. Then, using surgery
theory, we apply surgery on the osculating hyperspheres to obtain $n$
hyper-caps. We connect the hyper-caps to one another using partial
hyper-cylinders. By connecting all parts, the embedded hypersurface is obtained
as the disjoint union of these elements. We discuss the geometrical
characteristics of the embedded hypersurface, such as having boundary, its
topology, smoothness, boundedness, orientability, compactness, and injectivity.
Some discussion are also provided for the linearity and structure of data. This
paper is the intersection of several fields of science including machine
learning, differential geometry, and algebraic topology.
- Abstract（参考訳）: ユークリッド空間 $\mathbb{R}^d$ における$n$のデータ点の集合を考える。
このセットは、機械学習とデータサイエンスのデータセットと呼ばれる。
マニフォールド仮説は、データセットが高い確率で低次元の部分多様体上にあることを述べる。
すべての次元還元と多様体学習法は多様体仮説の仮定を持つ。
本稿では,このデータセットが局所的に$(d-1)$-dimensionalの超曲面上に埋め込まれていることを示す。
したがって、多様体仮説は少なくとも埋め込み次元が $d-1$ であることを示す。
ピラミッド構造における帰納法を用いて、埋め込み次元をより低い埋め込み次元に拡張し、埋め込み次元が$\{1, 2, \dots, d-1\}$ となる多様体仮説の有効性を示す。
ハイパーサーフェスを埋め込むには、まずデータのための$d$ nearbys graphを構築します。
任意の点において、この超球面が仮説上の超曲面に浸透しているような近傍を用いて、超球面 $S^{d-1}$ に収まる。
そして, 手術理論を用いて, 卵胞状超球に手術を施し, $n$ のハイパーキャップを得る。
部分的なハイパーシリンダを用いてハイパーキャップを相互に接続する。
すべての部分の連結により、埋め込み超曲面はこれらの要素の不連結結合として得られる。
本研究では, 埋設超曲面の幾何学的特性, 境界, トポロジー, 滑らか性, 境界性, オリエンタビリティ, コンパクト性, インジェクティビティについて論じる。
データの線形性と構造についてもいくつかの議論がなされている。
本稿では,機械学習,微分幾何学,代数トポロジーなど,いくつかの科学分野の交わりについて述べる。
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